Chapter9 电感与材料的磁性质
9.1 互感
由于$S_1$对$S_2$的磁通链 $$\Psi_{12}\propto N_2A_2B_1$$
又由于
$$B_1\propto i_1$$
因此可定义
$$\Psi_{12}=M_{12}i_1$$
同理：
$$\Psi_{21}=M_{21}i_2$$
互感电动势：
$$\varepsilon_2=-\frac{d\Psi_{12}}{dt}=-M_{12}\frac{di_1}{dt}$$
$$\varepsilon_1=-\frac{d\Psi_{21}}{dt}=-M_{21}\frac{di_2}{dt}$$
$M_{12}$，$M_{21}$被称为互感系数，通常情况下
$$M_{12}=M_{21}=M$$
单位为亨利（H）。
变压器：
$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}$$
9.2 自感
$$\Psi=NBA=Li$$
$$\varepsilon_L=-\frac{d\Psi}{dt}=-L\frac{di}{dt}$$
Note
对于电阻为0的“超导”，其两端接上电压后电流并不为无穷大，因为有自感现象。
$L$称为自感系数，单匝时定义为
$$L=\frac{\varPhi_B}{i}$$
多匝时定义为
$$L=\frac{\Psi}{i}$$
Example
例1：求长方形螺绕环的自感系数。
$\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 Ni$
$B=\frac{\mu_0 Ni}{2\pi r}$
$\varPhi_B=\iint\vec{B}\cdot d\vec{A}=\int_a^b\frac{\mu_0 Ni}{2\pi r}hdr=\frac{\mu_0 Nih}{2\pi}\int_a^b\frac{dr}{r}=\frac{\mu_0 Nih}{2\pi}\ln\frac{b}{a}$
$L=\frac{N\varPhi_B}{i}=\frac{\mu_0 N^2h}{2\pi}\ln\frac{b}{a}$
Example
例2：同轴电缆
由安培环路定理：$\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 i$
$B=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}$
$\varPhi_B=\iint\vec{B}\cdot d\vec{A}=\int_{R_1}^{R_2}Bldr=\frac{\mu_0il}{2\pi}\ln(\frac{R_2}{R_1})$
$L=\frac{\varPhi_B}{i}=\frac{\mu_0l}{2\pi}\ln(\frac{R_2}{R_1})$
自感和互感的关系：
假设第一个螺线管的自感系数为$L_1$，第二个螺线管的自感系数为$L_2$，则二者的互感系数：
$$M=\sqrt{L_1L_2}$$
若两个螺线管顺接（电流大小相等，方向相同）：
$$L=L_1+L_2+2M=L_1+L_2+2\sqrt{L_1L_2}$$
若两个螺线管反接（电流大小相等，方向相反）：
$$L=L_1+L_2-2M=L_1+L_2-2\sqrt{L_1L_2}$$
9.3 材料的磁性质
磁导率：
螺线管插上铁棒，自感系数增加$\kappa_m$倍：
$$L=\kappa_mL_0$$
$\kappa_m$被称为磁导率。
原子的磁性：
若有单一的价电子，其绕着原子核转，形成磁偶极矩：
$$\mu=iA$$
$$i=\frac{e}{T}=\frac{ev}{2\pi r}$$
$$\mu=\frac{ev}{2\pi r}\cdot \pi r^2=\frac{1}{2}erv$$
对于角动量：
$$\vec{l}=\vec{r}\times\vec{p}$$
其中$\vec{p}$为动量
对于这个电子：
$$l=rmv$$
因此
$$\vec{\mu_l}=-\frac{e}{2m}\vec{l}$$
磁化强度：
每个原子都有一个杂乱无章的$\mu$，若在磁场中，会有力矩
$$\vec{\tau}=\mu\times\vec{B}$$
外磁场$\vec{B}_0$使得$\mu$转到它的方向,等效成产生一圈大电流（束缚电流$i'$），对应$\vec{B_M}$，方向一致
$$\vec{B}=\vec{B_0}+\vec{B_M}$$
$$\vec{M}=\frac{\sum\vec{\mu}_M}{\Delta V}$$
$$\oint\vec{M}\cdot d\vec{l}=\sum i'$$
$$\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0\sum\limits_{In}(i_0+i')=\mu_0\sum\limits_{In}i_0+\mu_0\oint\vec{M}\cdot d\vec{l}$$
$$\oint(\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M})\cdot d\vec{l}=\sum\limits_{In}i_0$$
磁场强度：
$$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}$$
广义安培环路定理：
$$\oint\vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum\limits_{In}i_0$$