Chapter8 法拉第电磁感应定律
8.1 法拉第电磁感应定律与楞次定律
法拉第电磁感应定律：
$$\varepsilon=-\frac{d\varPhi_B}{dt}$$
Note
负号的含义：阻碍磁通量的变化
楞次定律 Lenz's Law：
感应电流的产生的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
本质是能量守恒：在克服阻碍的过程中，其他形式能转化为电能。
8.2 动生电动势
$$\varepsilon=\int(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}$$
Proof
洛伦兹力$F_L=e(\vec{v}\times\vec{B})$
若建立电场且达到平衡：
$eE=e(\vec{v}\times\vec{B})$
$E=\vec{v}\times\vec{B}$
$\varepsilon=\int(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}$
Note
高中时的默认情况：$\varepsilon=BVl$
Example
求金属棒两端电势$\varepsilon$。
法一：积分
$d\varepsilon=(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{r}=-Bvdr$
$\varepsilon=-\int_0^RBvdr=-\int_0^RB\omega rdr=-\frac{1}{2}B\omega R^2$
法二：法拉第电磁感应定律
考虑扇形区域$oab$
$\varPhi_B=BA=B(\frac{1}{2}R^2\theta)$
$\varepsilon=-\frac{d\varPhi_B}{dt}=-\frac{1}{2}BR^2\frac{d\theta}{dt}=-\frac{1}{2}B\omega R^2$
发电机和电动机（Generators and Motors）:
$$\varPhi_B=\vec{B}\cdot\vec{A}=BA\cos\theta=BA\cos\omega t$$
$$\varepsilon=-\frac{d\varPhi_B}{dt}=BA\omega\sin\omega t$$
8.3 感生电动势
由法拉第电磁感应定律：
$$\varepsilon=-\frac{d\varPhi_B}{dt}=-A\frac{dB}{dt}$$
由做功的定义：
$$W=\varepsilon q_0,~Fs=q_0E_{induced}\cdot 2\pi R,~W=Fs$$
$$\varepsilon=\oint\vec{E}_{induced}\cdot d\vec{l}$$
因此：
$$\oint\vec{E}_{induced}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\varPhi_B}{dt}$$
从更广的角度来看电场的环路定律：
$$\vec{E}=\vec{E_{sta}}+\vec{E_{ind}}$$
$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=\oint(\vec{E_{sta}}+\vec{E_{ind}})\cdot d\vec{l}=0+(-\frac{d\varPhi_B}{dt})=-\frac{d\varPhi_B}{dt}$$
Note
感应电场的产生不依赖于真实回路或电线的存在，会依赖真实回路或电线的只有感应电流。
如左图所示，如果大圆范围内的$B$均匀增加，则与大圆同圆心的圆上的$E_{induced}$方向沿圆的切线方向，不与大圆同圆心的圆则不然。
如右图所示，方形磁场是不存在的，因为其顶角的$E$方向无法判断。