Chapter6 恒定电流
6.1 电流
电流强度：
$$i=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{dq}{dt}$$
直观理解：单位时间内通过某横截面的电荷量。
电流密度矢量：
$$di=\vec{j}\cdot d\vec{A}$$
$$i=\iint_A\vec{j}\cdot d\vec{A}=\iint_Aj\cos\theta dA$$
直观理解：$\vec{j}$也是一种场。
电流连续方程：
若曲面$A$封闭，则
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{j}\cdot d\vec{A}=0$$
6.2 电阻
欧姆定律：
对于线性元件：
$$R=\frac{\Delta V}{i}$$
对于非线性元件：
$$R=\frac{dV}{di}$$
电导（conductance）：
$$G=\frac{1}{R}$$
电导即为电阻的倒数，单位为西门子（S）。
电阻率（resistivity）：
$$R=\rho\frac{L}{A}~\Rightarrow ~\rho=\frac{RA}{L}$$
该公式只针对于立柱体，更一般地：
$$R=\int\rho\frac{dl}{A}$$
电导率（conductivity）：
$$\sigma=\frac{1}{\rho}$$
电导率为电阻率的倒数，电导率才是材料特定的性质。
Example
大地可看作均匀的导电介质，电阻率为$\rho$，用一半径为$a$的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地面下，求接地电阻。
$R=\int\rho\frac{dl}{A}=\int_a^{\infty}\rho\frac{dr}{2\pi r^2}=\frac{\rho}{2\pi a}$
电阻率与温度关系（金属）：
$$\rho(T)=\rho_0+aT$$
欧姆定律的微分形式：
$$j\Delta A=\Delta i=\frac{\Delta V}{R}=\frac{E\Delta l}{\rho\frac{\Delta l}{\Delta A}}$$
$$\vec{j}=\frac{\vec{E}}{\rho}=\sigma\vec{E}$$
电功率：
$$P=\frac{W}{\Delta t}=\frac{qV_{AB}}{\Delta t}=i\Delta V_{AB}$$
若负载为电阻（而不是电机）时：
$$P=i^2R=\frac{V^2}{R}$$
欧姆定律的微观解释：
下图为在导体中，电子的自由运动与碰撞轨迹：
-
平均自由程$\lambda$：两次碰撞之间的平均距离。
-
平均自由时间$\tau$：两次碰撞之间的平均时间。
-
平均热运动速度$v_t$
加上电场后，电子的运动轨迹偏移，从y到y'。
$$\vec{a}=-\frac{e}{m}\vec{E}$$
在两次碰撞之间，假设刚碰撞后电子的漂移速度为0，在下一次碰撞前漂移速度为$u_1$，则
$$\vec{u_1}=\vec{a}\tau=-\frac{e}{m}\vec{E}\tau$$
平均漂移速度：
$$\vec{u}=-\frac{e}{2m}\vec{E}\tau=-\frac{e}{2m}\frac{\lambda}{v_t}\vec{E}$$
对于一定体积内通过的电荷量：
$$\Delta q=neu\Delta t\cdot\Delta A$$
其中$n$为载流子密度，即单位体积内电子数量。
$$\Delta i=\frac{\Delta q}{\Delta t}=neu\cdot \Delta A$$
$$j=\frac{\Delta i}{\Delta A}=neu$$
$$\vec{j}=-ne\vec{u}=\frac{ne^2}{2m}\frac{\lambda}{v_t}\vec{E}$$
前面已知：
$$\vec{j}=\sigma\vec{E}$$
因此
$$\sigma=\frac{ne^2}{2m}\frac{\lambda}{v_t}$$
$\sigma$为电导率。