Chapter3 高斯定理
3.1 高斯定理
电通量：
$$\varPhi_E=\sum\vec{E}\cdot\Delta\vec{A}=\iint\limits_{\substack{\circ}} \vec{E}\cdot d\vec{A}$$
对于封闭曲面，规定向外为正，向内为负。
高斯定理：
流过封闭曲面的电通量大小与包在曲面内的电荷大小成比例：
$$\varPhi_E=\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$$
Note
高斯定理的应用关键在于寻找便于计算积分的封闭曲面（球、圆柱体、长方体）。
高斯定理推导库仑定律：
考虑带电量为$q$的点电荷和以其为球心的半径为$r$的封闭球形曲面，易知：电场线与封闭球形曲面处处垂直。
由高斯定理：
$$\varepsilon_0\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\varepsilon_0\cdot E\cdot 4\pi r^2=q$$
因此：
$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$
即为库仑定律。
3.2 高斯定理的计算
(a) 无穷长导线周围的电场：
$$\varepsilon_0\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=q_{enclosed}$$
$$\varepsilon_0E\cdot 2\pi rh=\lambda h$$
$$E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$
(b) 无穷大均匀带电板周围的电场：
$$\varepsilon_0\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=q_{enclosed}$$
$$\varepsilon_0(EA+EA)=\sigma A$$
$$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$
Note
若为一正一负两块无穷大均匀带电板并排放置，则板间电场强度$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$，板外电场强度为0。
(c) 均匀带电球壳产生的电场：
当$r>R$时：使用的高斯面为$S_1$
$$\varepsilon_0\cdot E_r\cdot 4\pi r^2=q$$
$$E_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$
当$r<R$时：使用的高斯面为$S_2$
$$\varepsilon_0\cdot E_r\cdot 4\pi r^2=0$$
$$E_r=0$$
(d) 均匀带电球体产生的电场：
当$r>R$时：使用的高斯面为$S_1$
$$\varepsilon_0\cdot E_r\cdot 4\pi r^2=q$$
$$E_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$
当$r<R$时：使用的高斯面为$S_2$
$$\varepsilon_0\cdot E_r\cdot 4\pi r^2=q'$$
$$\frac{q'}{q}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{r^3}{R^3}$$
$$E_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qr}{R^3}$$
3.3 高斯定理与导体
(a):
$S$为紧贴孤立带电导体外表面的封闭曲面。
由于导体内部电场处处为0，因此$\varPhi_E=0$，$q_{enclosed}=0$
因此电荷全部分布在导体外表面。
(b):
若导体内部有一空洞，$S$为紧贴空洞内表面的封闭曲面。
由于导体内部电场处处为0，因此$\varPhi_E=0$，$q_{enclosed}=0$
因此空洞内表面也无电荷分布。
(c):
若空洞内有点电荷$+q'$，则由高斯定理易知，内表面带电$-q'$，外表面带电$+(q+q')$。
(d):
设导体外表面某一处电荷面密度为$\sigma$，则考虑高度极小的封闭圆柱。
圆柱在导体内的底面的$\varPhi_E=0$，因为导体内部电场处处为0。
圆柱在导体外的底面的$\varPhi_E=EA=\frac{q}{\varepsilon_0}=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$
$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$，即为导体外表面电荷面密度为$\sigma$处产生的电场大小。