Chapter15 物质波
物质波函数：
$$y(x,t)=y_0\sin(kx-\omega t),~k=\frac{2\pi}{\lambda},~\omega=2\pi\nu$$
复数形式：
$$y(x,t)=y_0e^{i(kx-\omega t)}$$
薛定谔给出的波函数：
$$\psi(x,t)=\psi_0e^{i(kx-\omega t)}=\psi_0e^{\frac{i}{\hbar}}(px-Et)$$
Note
$\hbar\omega=E$，$\hbar k=p$
波函数的物理解释：
$\psi\overline{\psi}dx$表示在$x$到$x+dx$这一段距离内找到这个粒子的概率。
几率密度：
$$p(x)=\psi\overline{\psi}=|\psi_0^2|$$
为常数，说明在任何地方找到这个粒子的概率有一样。
在$x_1$到$x_2$之间找到该粒子的几率：
$$\int_{x_1}^{x_2}p(x)dx=\int_{x_1}^{x_2}\psi\overline{\psi}dx$$
归一化：
$$\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi\overline{\psi}dx=1$$
在量子力学中，动量和位置不能同时确定，如果写出了波函数，那么动量就已确定（公式中的$p$），但位置不确定。
预期值：
$$\overline{x}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}xp(x)dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}xp(x)dx$$
由
$$p(x)=\psi\overline{\psi}$$
$$\overline{x}\int_{-\infty}^{+\infty}x\psi\overline{\psi}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\psi}x\psi dx\equiv\langle\psi|x|\psi\rangle=\langle|x|\rangle$$
势能平均值：
$$\overline{U}=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\psi}U(x)\psi dx\equiv\langle\psi|U(x)|\psi\rangle$$
动量算符与能量算符：
考虑波函数
$$\psi=\psi_0e^{i(kx-\omega t)}$$
其中，$p=\hbar k$，$E=\hbar \omega$，现要求动量平均值。
两边微分：
$$\frac{\partial \psi}{\partial x}=ik\psi_0e^{i(kx-\omega t)}$$
两边同时乘上$-i\hbar$：
$$-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial x}=(-i\hbar)ik\psi_0e^{i(kx-\omega t)}=\hbar k\psi_0e^{i(kx-\omega t)}=p\psi_0e^{i(kx-\omega t)}=p\psi$$
因此可得到动量算符：
$$p\leftrightarrow-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$
对于平均值：
$$\overline{p}=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\psi}(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})\psi dx$$
$$=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\psi}(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})\psi_0e^{i(kx-\omega t)}dx$$
$$=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\psi}(-i\hbar)ik\psi_0e^{i(kx-\omega t)}dx$$
$$=\hbar k\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\psi}\psi_0e^{i(kx-\omega t)}dx$$
$$=\hbar k\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\psi}\psi dx$$
$$=\hbar k$$
同理，若波函数两边对时间$t$微分：
$$\frac{\partial \psi}{\partial t}=-i\omega\psi_0e^{i(kx-\omega t)}$$
$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hbar\omega\psi_0e^{i(kx-\omega t)}=E\psi$$
因此可得到能量算符：
$$E\leftrightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$
$$\overline{E}=\hbar\omega$$
薛定谔方程：
薛定谔方程告诉我们如何获得一个非自由粒子的波函数。一个粒子的总能量：
$$E=\frac{1}{2}mv^2+U=\frac{p^2}{2m}+U$$
$$E\psi=\frac{p^2}{2m}\psi+U\psi$$
使用动量算符和能量算符：
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=\frac{1}{2m}(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})\psi+U\psi$$
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+U\psi$$
更具体的形式：
$$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U(x,t)]\psi(x,t)$$
此即为一维含时薛定谔方程。
对于一维，记
$$\hat{H}=-\frac{h^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U(x,t)$$
对于三维，记
$$\hat{H}=-\frac{h^2}{2m}\nabla^2+U(x,t)$$
因此有
$$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(x,t)$$
$\hat{H}$即为哈密顿算符。
定态薛定谔方程：
如果$U$与$t$无关$\rightarrow U(x)$，$\phi(x,t)$写成$\Psi(x)e^{i\omega t}$的形式，带入原本的薛定谔方程可以得到：
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}+U(x)\Psi(x)=E\Psi(x)$$
势垒隧道：
经典力学：粒子运动到高于粒子能量$E$的势垒$U$，则无法通过。
量子力学：例子有一定的概率贯穿势垒。
应用：扫描隧道显微镜