Chapter14 偏振
14.1 偏振
线偏振强度推导
$$I_1=\frac{1}{2}I_0$$
原因：统计平均
$$I_2=I_1\cos^2\theta$$
原因：投影乘上$\cos\theta$，光强$I\propto E^2$，因此乘上$\cos^2\theta$（马隆定律）
Example
$I_{45}=\frac{1}{4}I_0$
原因：$E_1=\frac{\sqrt{2}}{2}E_0$，$E_2=\frac{\sqrt{2}}{2}E_1$
当$\theta=30°$时
$E_1=\frac{\sqrt{3}}{2}E_0$
$E_2=\frac{1}{2}E_1=\frac{\sqrt{3}}{4}E_0$
$I_{30}=\frac{3}{16}I_0<I_{45}$
圆偏振光
$$E_x=E_{x0}\sin(kz-\omega t+\phi_x)$$
$$E_y=E_{y0}\sin(kz-\omega t+\phi_y)$$
设波沿z轴方向传播。若$\phi_x=\phi_y$，则退化为线偏振。若$E_{x0}=E_{y0}$且$\phi_x-\phi_y=\pm\frac{\pi}{2}$，则对应的偏振态称为圆偏振。
Note
若$E_{x0}\neq E_{y0}$，则对应椭圆。
左手、右手的含义为：我们的视线与z轴方向一致，z从0开始不断增大，右手→顺时针，左手→逆时针。
将光照在晶体上，出来的光不转，为线偏振光。由于角动量守恒，因此晶体会转。
其他偏振态
1.无偏振光（自然光）
2.线偏振光
3.部分偏振光
偏振度：
$$P=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}$$
对于线偏振光：
$$I_{\min}=0,~P=1$$
对于无偏振光：
$$I_{\min}=I_{\max},~P=0$$
4.圆偏振光
5.椭圆偏振光
$$\begin{cases} E_x=E_1\sin(kz-\omega t+\delta)\\ E_y=E_2\sin(kz-\omega t) \end{cases}$$
要求$E_1\neq E_2$或者$\delta\neq\pm\frac{\pi}{2}$
反射产生的偏振
$\leftrightarrow$表示平行平面的偏振分量，$\cdot$表示垂直平面的偏振分量。入射光是无偏振光，各个方向都有偏振分量。
若有
$$\theta_p+\theta_r=90°$$
则代入$n_1\sin\theta_p=n_2\sin\theta_r$可解得：
$$\tan\theta_p=\frac{n_2}{n_1}$$
$\theta_p$被称为布儒斯特角。
此时反射光的电场只有垂直平面的分量，反射光为线偏振光。对于折射光，平行平面的电场强度强于垂直平面的电场强度（因为分了一部分给反射光），此时折射光为部分偏振光。
如果我们叠起玻璃片，且入射角为布儒斯特角：
每次反射都会少掉一点垂直平面的分量，因此最后出来的折射光只有平行平面的分量，也是偏振光。
14.2 双折射
光线垂直入射，却被分成两束。对于寻常光（O光），满足一般的折射定律；对于非寻常光（E光），不同方向的光折射率不同，速度也不同。
光经过折射，频率$f$不变。对于快的方向：$v_{fast}$大，$\lambda_{fast}$大；对于慢的方向，$v_{slow}$小，$\lambda_{slow}$小。材料的厚度影响了相位差。
对于O光，其对于同一材料只有一个折射率$n_o$，对应速度$v_o$；对于E光，折射率从$n_o$连续变化到$n_e$，对应速度从$v_o$到$v_e$。
光轴
在CaCO$_3$中：
O光在各个方向速度一样，E光沿y轴方向速度最快，沿z轴方向速度最慢，与O光一致。$v_e>v_o$，$n_e<n_o$，对应晶体为负晶体。
在SiO$_2$中：
$v_o>v_e$，$n_o<n_e$，对应晶体为正晶体。
光轴：O光和E光速度相等的方向
更明确的表述：光的传播路径与光轴构成一个平面，若$\vec{E}$垂直该平面，则为O光；若$\vec{E}$平行该平面，则为E光。
波片
波片为各向异性材料，虚线为光轴方向。光垂直入射，分成E光和O光，E光传播得更快。
O光光程：
$$L_o=n_od$$
E光光程：
$$L_e=n_ed$$
相位差：
$$\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d$$
若$(n_o-n_e)d=\pm\frac{1}{4}\lambda$，则$\Delta\phi=\pm\frac{\pi}{2}$，此时的波片称为 $\frac{1}{4}$波片。
若$(n_o-n_e)d=\pm\frac{1}{2}\lambda$，则$\Delta\phi=\pm\pi$，此时的波片称为 半波片。
将$\vec{E}$分成$\vec{E_x}$和$\vec{E_y}$两个相互垂直的分量，若入射光为线偏振光，则$\vec{E_x}$和$\vec{E_y}$相位一致，经过$\frac{1}{4}$波片后$\vec{E}_x$和$\vec{E}_y$相位差变为$\frac{\pi}{2}$，变成圆偏振光（或椭圆）。同理，圆偏振光经过$\frac{1}{4}$波片后变成线偏振光。
对于半波片，偏振光经过后旋转$90°$。
Example
$A_e=A\cos\theta$（E光）
$A_o=A\sin\theta$（O光）
若$\theta=45°$，则变成圆偏振光
若$\theta\neq45°$，则变成椭圆偏振光
Note
偏振片无法区分自然光和圆偏振光，但$\frac{1}{4}$波片可以。
$\frac{1}{4}$波片强度推导：
fast方向：E光（快了$\frac{\lambda}{4}$）
$$E_y=E_0\sin(kz-\omega t+\frac{\pi}{2})=-E_0\cos(kz-\omega t)$$
slow方向：O光（没有变化）
$$E_x=E_0\sin(kz-\omega t)$$
$$E_f=E_s=\frac{E_0}{\sqrt{2}}$$
若其再经过一个偏振片：
$$E_f'=E_s'=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{E_0}{\sqrt{2}}=\frac{E_0}{2}$$
由于其相位差刚好差$\frac{\pi}{2}$，无法抵消，因此
$$I=(\frac{E_0}{2})^2+(\frac{E_0}{2})^2=\frac{1}{2}I_0$$