Chapter10 Maxwell方程组
10.1 Maxwell方程组的确立
真空：
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_0}{\varepsilon_0}$$
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$$
$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\iint\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{A}$$
$$\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 i$$
电介质和磁性材料介入：
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{D}\cdot d\vec{A}=q$$
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$$
$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\iint\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{A}$$
$$\oint\vec{H}\cdot d\vec{l}=i=\iint\vec{j}\cdot d\vec{A}$$
微分形式：
$$\nabla\cdot\vec{D}=\rho$$
$$\nabla\cdot\vec{B}=0$$
$$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$
$$\nabla\times\vec{H}=\vec{j}$$
Note
Stokes公式：$$\oint_L\vec{A}\cdot d\vec{l}=\iint_S(\nabla\times\vec{A})\cdot d\vec{S}$$
Gauss公式：$$\iint\limits_{\substack{\circ}}_S\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint_V(\nabla\cdot\vec{A})dV$$
修改安培环路定理：
$$\oint\vec{H}\cdot d\vec{l}=i_0=\iint_{S_2}\vec{j_0}\cdot d\vec{A}$$
由Stokes公式：
$$\oint_L\vec{A}\cdot d\vec{l}=\iint_S\nabla\times\vec{A}\cdot d\vec{S}$$
$$-\iint_{S_1}\vec{j_0}\cdot d\vec{A}=\iint_{S_2}\vec{j_0}\cdot d\vec{A}=i_0$$
两个并起来：
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}S\vec{j_0}\cdot d\vec{A}=\iint=0$$}\vec{j_0}\cdot d\vec{A}+\iint_{S_2}\vec{j_0}\cdot d\vec{A
考虑电容器的充电过程，1、2、4号闭合曲面没有问题，但3号曲面只有流入的电流，没有流出的电流，$i_0\neq\iint_{S_3}\vec{j_0}\cdot d\vec{A}=0$。因此，应该将安培环路定理修改为：
$$\oint\vec{H}\cdot d\vec{l}=i_0+i_D$$
其中，$i_D$被称为位移电流。
$$\oint_{S_{13}}\vec{j_0}\cdot d\vec{A}=-\frac{dq_0}{dt}$$
由高斯定理：
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{D}\cdot d\vec{A}=q_0$$
因此
$$\frac{dq_0}{dt}=\frac{d}{dt}\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{D}\cdot d\vec{A}=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{A}$$
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{j_0}\cdot d\vec{A}=-\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{A}$$
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}(\vec{j_0}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t})\cdot d\vec{A}=0$$
$$-\iint_{S_1}(\vec{j_0}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t})\cdot d\vec{A}=\iint_{S_2}(\vec{j_0}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t})\cdot d\vec{A}$$
综上，Maxwell方程组第四项改为：
$$\oint\vec{H}\cdot d\vec{l}=i_0+i_D=\iint(\vec{j_0}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t})\cdot d\vec{A}$$
Definition
电位移通量：$\Phi_D=\iint\vec{D}\cdot d\vec{A}$
位移电流：$i_D=\frac{d\Phi_D}{dt}=\iint\frac{\partial\vec{D}}{\partial\vec{t}}\cdot d\vec{A}$
位移电流密度：$\vec{j}_D=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}$
10.2 电磁波
电磁波在自由空间（没有静止或运动的电荷）中具有以下性质：
- 性质1：横波，即$\vec{E}\perp \vec{k}$，$\vec{H}\perp \vec{k}$，其中$\vec{k}$为波的传播方向
- 性质2：电场和磁场相互垂直，即$\vec{E}\perp \vec{H}$
- 性质3：$E$和$H$同相位，即同时达到最大，同时达到最小
- 性质4：右手定则，即$\vec{E}$，$\vec{H}$，$\vec{k}$的方向与x，y，z轴一一对应，且$E$和$H$的振幅满足$\sqrt{\kappa_e\varepsilon_0}E_0=\sqrt{\kappa_m\mu_0}H_0$
- 性质5：传播速度$v=\frac{1}{\sqrt{\kappa_e\varepsilon_0\kappa_m\mu_0}}$，在真空中即为光速$c$
从Maxwell方程组推导电磁波的五大性质
前期准备：
根据Maxwell方程组的积分形式：
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_0}{\varepsilon_0}$$
$$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{H}\cdot d\vec{A}=0$$
$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\iint\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{A}$$
$$\oint\vec{H}\cdot d\vec{l}=i_0+\iint\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{A}$$
得到Maxwell方程组的微分形式：
$$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho_e}{\varepsilon_0}$$
$$\nabla\cdot\vec{H}=0$$
$$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=-\kappa_m\mu_0\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}$$
$$\nabla\times\vec{H}=\vec{j_0}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}=\vec{j_0}+\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$$
考虑在自由空间中有$\rho_e=0$，$j_0=0$，因此有：
$$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=0$$
$$\nabla\cdot\vec{H}=\frac{\partial H_x}{\partial x}+\frac{\partial H_y}{\partial y}+\frac{\partial H_z}{\partial z}=0$$
$$\nabla\times\vec{E}=\left|\begin{array}{c} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ E_x&E_y&E_z \end{array}\right|=-\kappa_m\mu_0(\frac{\partial H_x}{\partial t}\vec{i}+\frac{\partial H_y}{\partial t}\vec{j}+\frac{\partial H_z}{\partial t}\vec{k})$$
$$\nabla\times\vec{H}=\left|\begin{array}{c} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ H_x&H_y&H_z \end{array}\right|=\kappa_e\varepsilon_0(\frac{\partial E_x}{\partial t}\vec{i}+\frac{\partial E_y}{\partial t}\vec{j}+\frac{\partial E_z}{\partial t}\vec{k})$$
综上，我们有以下八个方程：
$$\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=0~~~~~(1)$$
$$\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}=-\kappa_m\mu_0\frac{\partial H_x}{\partial t}~~~~~(2-1)$$
$$\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}=-\kappa_m\mu_0\frac{\partial H_y}{\partial t}~~~~~(2-2)$$
$$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}=-\kappa_m\mu_0\frac{\partial H_z}{\partial t}~~~~~(2-3)$$
$$\frac{\partial H_x}{\partial x}+\frac{\partial H_y}{\partial y}+\frac{\partial H_z}{\partial z}=0~~~~~(3)$$
$$\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}=\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t}~~~~~(4-1)$$
$$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}=\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial E_y}{\partial t}~~~~~(4-2)$$
$$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}=\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial E_z}{\partial t}~~~~~(4-3)$$
对性质1的推导：
如果考虑在足够远的距离取一个平面，那么可以将电磁波看作平面波，$\vec{E}$，$\vec{H}$与x，y无关。
$$(1)\Rightarrow\frac{\partial E_z}{\partial z}=0$$
$$(2-3)\Rightarrow\frac{\partial H_z}{\partial t}=0$$
$$(3)\Rightarrow\frac{\partial H_z}{\partial z}=0$$
$$(4-3)\Rightarrow\frac{\partial E_z}{\partial t}=0$$
我们发现$E_z$与$H_z$为常数，$\vec{E}$和$\vec{H}$在z方向上与时间无关，因此电磁波是横波。
对性质2的推导：
由于性质1的得证，不妨设$E_z=H_z=0$：
$$(2-1)\Rightarrow \frac{\partial E_y}{\partial z}=\kappa_m\mu_0\frac{\partial H_x}{\partial t}~~~~~(2-1)'$$
$$(2-2)\Rightarrow \frac{\partial E_x}{\partial z}=-\kappa_m\mu_0\frac{\partial H_y}{\partial t}~~~~~(2-2)'$$
$$(4-1)\Rightarrow \frac{\partial H_y}{\partial z}=-\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t}~~~~~(4-1)'$$
$$(4-2)\Rightarrow \frac{\partial H_x}{\partial z}=\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial E_y}{\partial t}~~~~~(4-2)'$$
进一步，不妨设$\vec{E}$沿着x轴方向：
$$(2-1)'\Rightarrow \frac{\partial H_x}{\partial t}=0$$
$$(4-2)'\Rightarrow \frac{\partial H_x}{\partial z}=0$$
说明$\vec{H}$在x轴方向（即$\vec{E}$的方向）的分量始终为常数，因此$\vec{E}\perp\vec{H}$。
对性质3、4、5的推导：
在(2-2)'两边同时对$z$求导：
$$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}=-\kappa_m\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\cdot\frac{\partial H_y}{\partial z}$$
再代入(4-1)'：
$$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}=\kappa_m\mu_0\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}$$
此为波动方程，解得：
$$E_x=E_{x0}e^{i(\omega t-kz)}$$
$$H_y=H_{y0}e^{i(\omega t-kz)}$$
二者同相位，其中：
$$k=\sqrt{\kappa_e\varepsilon_0\kappa_m\mu_0}\omega,~\omega=\frac{2\pi}{T},~k=\frac{2\pi}{\lambda}$$
对波的某个相位的点进行速度的考察：
$$\omega t-kz=constant$$
$$v=\frac{dz}{dt}=\frac{1}{\sqrt{\kappa_e\varepsilon_0\kappa_m\mu_0}}$$
真空条件下，代入已知条件即可算出波速为$\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}=c$。
将$E_x$和$H_y$代入(2-2)'式：
$$E_{x0}=\kappa_m\mu_0\frac{\omega}{k}H_{y0}=\kappa_m\mu_0vH_{y0}=\kappa_m\mu_0\frac{1}{\sqrt{\kappa_e\varepsilon_0\kappa_m\mu_0}}H_{y0}$$
$$\sqrt{\kappa_e\varepsilon_0}E_{x0}=\sqrt{\kappa_m\mu_0}H_{y0}$$
Note
真空时：
$\sqrt{\varepsilon_0}E_{x0}=\sqrt{\mu_0}H_{y0}$
$E_{x0}=\frac{\mu_0H_{y0}}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}=cB_{y0}$
即：电场强度的振幅等于磁感应强度的振幅乘上光速。
能流密度
在一定的体积内，电磁波的总能量：
$$U=\iiint(\frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E}+\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H})dv$$
初步变换：
$$\frac{dU}{dt}=\frac{1}{2}\iiint\frac{\partial}{\partial t}(\vec{D}\cdot\vec{E}+\vec{B}\cdot\vec{H})dv$$
$$\frac{\partial}{\partial t}(\vec{D}\cdot\vec{E}+\vec{B}\cdot\vec{H})=\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial(\vec{E}\cdot\vec{E})}{\partial t}+\kappa_m\mu_0\frac{\partial(\vec{H}\cdot\vec{H})}{\partial t}$$
$$=2\kappa_e\varepsilon_0\vec{E}\cdot\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}+2\kappa_m\mu_0\vec{H}\cdot\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}$$
$$=2\vec{E}\cdot\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}+2\vec{H}\cdot\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$
$$=2\vec{E}\cdot(\nabla\times\vec{H}-\vec{j_0})-2\vec{H}\cdot(\nabla\times\vec{E})$$
由公式$\vec{E}\cdot(\nabla\times\vec{H})-\vec{H}\cdot(\nabla\times\vec{E})=-\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{H})$，可得：
$$\frac{\partial}{\partial t}(\vec{D}\cdot\vec{E}+\vec{B}\cdot\vec{H})=-2\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{H})-2\vec{j_0}\cdot\vec{E}$$
因此由Gauss公式：
$$\frac{dU}{dt}=-\iiint\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{H})dv-\iiint(\vec{j_0}\cdot\vec{E})dv$$
$$=-\iint\limits_{\substack{\circ}}(\vec{E}\times\vec{H})\cdot d\vec{A}-\iiint(\vec{j_0}\cdot\vec{E})dv$$
对$\iiint(\vec{j_0}\cdot\vec{E})dv$的变换：
已知：
$$\vec{j_0}=\sigma(\vec{E}+\vec{K})\Rightarrow \vec{E}=\rho\vec{j_0}-\vec{K}$$
其中，$\sigma$为电导率，$\rho$为电阻率，$\vec{K}$为电源把正电荷从负极移到正极的非静电力
$$\iiint(\vec{j_0}\cdot\vec{E})dv=(\vec{j_0}\cdot\vec{E})\Delta A\Delta l$$
$$=\rho j_0^2\Delta A\cdot\Delta l-\vec{j_0}\cdot\vec{K}\Delta A\cdot\Delta l$$
$$=\rho\frac{\Delta l}{\Delta A}(j_0\Delta A)^2-(j_0\Delta A)(\vec{K}\cdot\Delta\vec{l})$$
$$=Ri_0^2-i_0\Delta\varepsilon$$
$$=Q-P$$
$Q$是单位时间内产生的焦耳热，$P$是单位时间内电源做的功。
对$\iint\limits_{\substack{\circ}}(\vec{E}\times\vec{H})\cdot d\vec{A}$的变换：
定义Poynting矢量（能流密度）：
$$\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}$$
则：
$$\frac{dU}{dt}=-\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{S}\cdot d\vec{A}-Q+P$$
电磁波在单位时间内的总能量，一部分辐射出去（$\iint\limits_{\substack{\circ}}\vec{S}\cdot d\vec{A}$），一部分变成热量散失（$Q$），一部分来源于电源做功（$P$）。
对能流密度的分析：
在真空中：
$$\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}=\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{\mu_0}$$
$$S=\frac{EB}{\mu_0}=\frac{E^2}{\mu_0c}$$
其方向与电磁波的传播方向一致。
由于$\vec{E}$随时间变化，因此给出新的概念：强度
$$I=\vec{S}=\frac{E_{max}^2}{2\mu_0c}$$
电磁波的能量密度：
在真空条件下：
$$u_E=\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2$$
$$u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{E^2}{2c^2\mu_0}=u_E$$
$$u_{total}=u_E+u_B=\varepsilon_0E^2$$