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Chapter1 电荷与库仑定律

1.1 库仑定律

$$\vec{F_{12}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\hat{r_{12}}$$

有时将系数$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$称为系数$k$。

库仑定律成立当且仅当两物体的尺寸远小于两物体的距离（点电荷）。

Example

If you were standing at arm's length from someone and each of you had one percent more electrons than protons, the repelling force would be incredible. How great?

假设人体全由水构成，水的摩尔质量为$18$g：
$\frac{6\times 10^{23}molecules/mol}{18g/mol}\times 10e^-/molecule=3.3\times 10^{23}e^-/g$
假设人体重量为$80$kg：
$3.3\times10^{23}e^-/g\times80kg=2.6\times10^{28}e^-$
现在计算人体内$1\%$的电荷：
$1\%\times2.6\times10^{28}e^-\times1.6\times10^{-19}C/e^-=4.2\times10^7C$
两人相距$0.75$m：
$F=(9\times10^9N·m^2/C^2)\times(\frac{4.2\times10^7C}{0.75m})^2=2.8\times10^{25}N$

1.2 导体与绝缘体

  • 绝缘体（insulator）：
    电子无法自由移动，电荷均匀分布，密度很小
  • 导体（conductor）：
    电子可以自由移动，电荷分布于外表面，密度很大
  • 半导体（semiconductor）：
    高温时导电，低温时不导电，电荷密度受外界环境影响很大
  • 超导体（superconductor）：
    $R=0$，$B=0$

1.3 电荷的连续分布

符号约定：

  • 线电荷密度：$\lambda=\frac{dq}{dx}$
  • 面电荷密度：$\sigma=\frac{dq}{dA}$
  • 体电荷密度：$\rho=\frac{dq}{dV}$

Example

例1：求均匀带电棒对试探电荷的库仑力。
alt text
$\lambda=\frac{dq}{dx}=\frac{Q}{L}$
$dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qdq}{d^2}$
$dF_r=dF\cos\theta=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{rqdq}{d^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{rQqdx}{L(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}$
$F=\int dF_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{rQq}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{dx}{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{rQq}{L}(\frac{x}{r^2\sqrt{x^2+r^2}})\vert_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qq}{r\sqrt{\frac{L^2}{4}+r^2}}$

Note

$\int\frac{dx}{(x^2\pm a^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\pm x}{a^2\sqrt{x^2\pm a^2}}$

Example

例2：求均匀带电圆环对试探电荷的库仑力。
alt text
$\lambda=\frac{dq}{Rd\varphi}=\frac{Q}{2\pi R}$
$dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qdq}{d^2}$
$dF_r=dF\cos\theta=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{rqdq}{d^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{rQqd\varphi}{2\pi(R^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}$
$F=\int dF_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{rQq}{2\pi(R^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\int_0^{2\pi}d\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{rQq}{(R^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}$

Example

例3：求均匀带电圆盘对试探电荷的库仑力。
alt text
$\sigma=\frac{dq}{2\pi\omega d\omega}=\frac{Q}{\pi R^2}$
$dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{rqdq}{(\omega^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2rQq\omega d\omega}{R^2(\omega^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}$（利用例2的结论）
$F=\int dF=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2rQq}{R^2}\int_0^R\frac{\omega d\omega}{(\omega^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2rQq}{R^2}(-\frac{1}{\sqrt{\omega^2+r^2}})\vert_0^R=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2rQq}{R^2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{\sqrt{R^2+r^2}})$

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