Chapter7 Fourier级数
7.1 Fourier级数的基本概念
Fourier级数的相关定义
Fourier级数和Fourier系数：
若 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi,\pi]$ 上可积，那么
$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$
称等式右边为 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的Fourier级数。
- $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx$
- $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx$
称为 $f$ 的 Fourier系数。
Fourier展开的基础：正交性：
假设函数 $\varphi$ 和 $\psi$ 都在 $[a,b]$ 上可积，且
$$\int_a^b\varphi(x)\psi(x)dx=0$$
则称 $\varphi$ 和 $\psi$ 在 $[a,b]$ 上正交。
- $\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin nxdx=0$，$n\geqslant1$
- $\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mxdx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mxdx=0$，$m\neq n$
- $\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\sin mx=0$，$n$，$m\geqslant1$
- $\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2\pi$，$\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2nxdx=\pi$，$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2nxdx=\pi$
正弦级数和余弦级数
若 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且 $f$ 为奇函数，则
$$a_n=0,~b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin nx dx$$
此时
$$f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx$$
该Fourier级数称为正弦级数。
同样地，若 $f$ 是偶函数，则
$$b_n=0,~a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos nx dx$$
此时
$$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx$$
该Fourier级数称为余弦级数。
Example
例：将 $f(x)=x$，$x\in[0,\pi]$ 分别展开为余弦级数和正弦级数。
余弦级数：
对 $f(x)$ 进行偶延拓：
$\tilde{f}(x)=\begin{cases}
-x,~~~x\in[-\pi,0]\\
x,~~~~~~x\in[0,\pi]
\end{cases}$
$\tilde{f}(x)$ 为偶函数
$b_n=0$
$a_0=\pi$
当 $n\geqslant1$ 时
$a_n=\frac{2}{\pi}\tilde{f}(x)\cos nx dx=\begin{cases}
0,~~~~~~~~~~~~~~~~~n=2k\\
-\frac{4}{(2k+1)^2\pi},~~x=2k+1
\end{cases}$
$f(x)\sim\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}$
正弦级数：
对 $f(x)$ 进行奇延拓：
$\tilde{f}(x)=x$，$x\in(-\pi,\pi]$
同理可得：$f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$
不以 $2\pi$ 为周期的Fourier级数
设 $f(x)$ 是以 $2T$ 为周期的函数，且在 $[-T,T]$ 上可积
令
$$\varphi(t)=f(\frac{T}{\pi}·t),~t\in R$$
则 $\varphi(t)$ 是以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi,\pi]$ 上可积的函数，从而 $\varphi$ 的Fourier级数为
$$\varphi(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nt+b_n\sin nt)$$
其中
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\varphi(t)\cos ntdt$$
$$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\frac{T}{\pi}t)\cos ntdt$$
$$\stackrel{x=\frac{T}{\pi}·t}\Longrightarrow\frac{1}{T}\int_{-T}^Tf(x)\cos\frac{n\pi x}{T}dx$$
$$b_n=\frac{1}{T}\int_{-T}^Tf(x)\sin\frac{n\pi x}{T}dx$$
综上：
- $f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{T}+b_n\sin\frac{n\pi x}{T})$
- $a_n=\frac{1}{T}\int_{-T}^Tf(x)\cos\frac{n\pi x} {T}dx$
- $b_n=\frac{1}{T}\int_{-T}^Tf(x)\sin\frac{n\pi x}{T}dx$
Example
例：计算 $f(x)=\begin{cases} 0,~~~x\in[-1,0)\\ x^2,~x\in[0,1) \end{cases}$ 的Fourier级数。
将 $f$ 延拓成以 $2T$ 为周期的函数，$T=1$
此时Fourier系数为：
$a_0=\frac{1}{3}$
$a_n=\frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2}$
$b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}+\frac{2[(-1)^n-1]}{n^3\pi^3}$
从而 $f$ 的Fourier级数为 $f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{2(-1)^n\cos n\pi x}{n^2\pi^2}+(\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}+\frac{2[(-1)^n-1]}{n^3\pi^3})\sin n\pi x)$
7.2 Fourier级数敛散性的判别
Note
以下定理都是为了推演出最后的结论，具体的证明过程过于繁琐，因此省略。
Bessel不等式：
设 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积，则
$$\frac{a_0^2}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\leqslant\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx$$
推论一：
设 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积，则
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=0$$
即
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx=0$$
推论二：
设 $f$ 在 $[0,\pi]$ 上可积，则
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_0^{\pi}f(x)\sin(n+\frac{1}{2})xdx=0$$
Dirichlet积分：
设 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi,\pi]$ 上可积，则其Fourier级数的部分和函数满足：
$$S_m(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}[f(t+x)D_m(t)]dt$$
其中
$$D_m(t)=\begin{cases} \frac{\sin(m+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}},~t\neq0\\ \frac{1}{2}+m,~~~~~t=0 \end{cases}$$
该积分形式称为Dirichlet积分。
收敛定理：
只要 $f$ 在 $x$ 处的广义右导数存在，则 $\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}[f(t+x)D_m(t)]dt$ 会收敛到 $\frac{f(x+o)}{2}$ ；同理，只要 $f$ 在 $x$ 处的广义左导数存在，则 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0[f(t+x)D_m(t)]dt$ 会收敛到 $\frac{f(x-o)}{2}$。特别地，当 $f$ 在 $0$ 处的广义左右导数均存在时，有
$$S_m(x)\stackrel{m\rightarrow\infty}\longrightarrow\frac{f(x+o)+f(x-o)}{2}$$
Fourier级数敛散性判别的结论：
若 $f$ 的导数在 $[a,b]$ 上连续，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上光滑。对于定义在 $[a,b]$ 上的函数 $f$ 按段光滑的，当且仅当存在 $[a,b]$ 的一个分割 $a=x_0<x_1<···<x_n=b$，使得：
- $\forall 1\leqslant i\leqslant n$，都有 $f$ 在 $(x_{i-1},x_i)$ 上存在连续的导数.
- $\forall 0\leqslant i\leqslant n$，都有 $f$ 在 $x_i$ 处存在左右极限（$f$ 在 $x_0$ 和 $x_n$ 处分别存在右极限和左极限）
- $\forall 0\leqslant i\leqslant n$，都有 $f'$ 在 $x_i$ 处存在左右极限（$f'$ 在 $x_0$ 和 $x_n$ 处分别存在右极限和左极限）
若 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期，且在 $[-\pi,\pi]$ 上按段光滑的函数，则 $\forall x\in[-\pi,\pi]$，都有 $f$ 的Fourier级数：
$$\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\frac{f(x+o)+f(x-o)}{2}$$
Example
例：求 $f(x)=\begin{cases} 1,x\in[-\pi,0)\\ 0,x\in[0,\pi) \end{cases}$ 的Fourier级数，并求级数的和。
$a_n=\begin{cases}
1,n=0\\
0,n\geqslant1
\end{cases}$
$b_n=\frac{(-1)^n-1}{n\pi}$
$f$ 的Fourier级数为
$f\sim\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n-1}{n\pi}\sin nx$
由于 $f$ 在 $[-\pi,\pi)$ 上按段光滑
因此当 $x\in[-\pi,0)$ 时，级数收敛于 $1$
当 $x\in(0,\pi)$ 时，级数收敛于 $0$
当 $x=0$ 或 $-\pi$ 时，级数收敛于 $\frac{f(x+o)+f(x-o)}{2}=\frac{1}{2}$
7.3 Fourier级数的性质
性质一：
$\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ 是某个在 $[-\pi,\pi]$ 上可积的函数的Fourier级数的必要条件是 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$ 收敛。
性质二：
设 $f$ 为 $[-\pi,\pi]$ 上的光滑函数，且 $f(-\pi)=f(\pi)$ ，则 $f$ 的Fourier级数在 $[-\pi,\pi]$ 上一致收敛于 $f$ ，即
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$
且
$$f'(x)\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-na_n\sin nx+nb_n\cos nx)$$
性质三：
令 $T_n$ 表示 $n$ 阶三角多项式 $\frac{A_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^n(A_k\cos kx+B_k\sin kx)$ 的全体，设 $f$ 为在 $[-\pi,\pi]$ 上可积的函数，$a_0$，$a_k$，$b_k$ 为 $f$ 的Fourier系数，则 $f$ 的Fourier级数的部分和函数
$$S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^n(a_k\cos kx+a_k\sin kx)$$
是 $f$ 在 $T_n$ 中的最佳平方逼近元素，即
$$\int_{-\pi}^{\pi}[f(x)-S_n(x)]^2dx=\min{\int_{-\pi}^{\pi}[f(x)-g(x)]^2dx,g\in T_n}$$
性质四：Weierstrass第二逼近定理：
对周期为 $2\pi$ 的任意一个连续函数 $f$，都存在三角多项式序列
$$\{\psi_n(x)=\frac{A_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^n(A_k\cos kx+B_k\sin kx)\}$$
使得 $\{\psi_n\}$ 在 $R$ 上一致收敛于 $f$。