Chapter4 多元函数的微分学
4.1 偏导数和全微分的基本概念
偏导数的基本定义
偏导数：
设 $D\in R^2$ 为开集，$f(x,y)$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，$(x_0,y_0)\in D$，若极限
$$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$
存在，则称 $f$ 在$(x_0,y_0)$ 关于 $x_0$ 可偏导，记为$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$或$f_x(x_0,y_0)$，对于 $y_0$ 的偏导同理。
若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 关于 $x_0$ 和 $y_0$ 都可求偏导，则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可偏导。偏导数反映的是二元函数沿 $x$ 轴方向或 $y$ 轴方向的变化率。对某个变量求偏导数，只要在求导时将其他变量看作常数就可以了，这一点同样可推广到一般的 $n$ 元函数上。
方向导数：
设 $D\in R^2$ 为开集，$f(x,y)$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，$(x_0,y_0)\in D$，$v=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 为一个方向，若极限
$\lim\limits_{t\rightarrow 0+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\sin\alpha)-f(x_0,y_0)}{t}$
存在，则称此极限为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处沿 $v$ 方向的方向导数，记为$\frac{\partial f}{\partial v}(x_0,y_0)$。
设方向导数 $e_1=(1,0)$，$e_2=(0,1)$，则$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$（或 $y$）可偏导$\Longleftrightarrow$$f$ 沿方向 $e_1$ 和 $-e_1$（$e_2$ 和 $-e_2$）的方向导数都存在且互为相反数，且此时成立
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial e_1}(x_0,y_0)$$
或
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial e_2}(x_0,y_0)$$
梯度：
设 $D\in R^2$ 为开集，$f(x,y)$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，$(x_0,y_0)\in D$，若 $f$ 在$(x_0,y_0)$处可偏导，则称向量
$$(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$$
为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的梯度，记为
$$grad~f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)i+f_y(x_0,y_0)j$$
高阶偏导数：
- $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x})=f_{xx}$
- $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y})=f_{yx}$
- $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x})=f_{xy}$
- $\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial y})=f_{yy}$
如果 $f$ 的两个混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则
$$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$$
向量值函数的导数：
设函数 $y=f(x): D\rightarrow R^m$，$D\subset R^n$，其中 $x$，$y$ 为向量 写成坐标形式：
$\begin{cases} y_1=f_1(x_1,···,x_n)\\ ···\\ y_m=f_m(x_1,···,x_n) \end{cases}$
其中 $x_i$，$y_i$ 为向量中第 $i$ 个位置的分量。
设 $x^0=(x_1^0,···,x_n^0)\in D$，若 $f$ 的每一个分量函数 $f_i$ 都在 $x^0$ 处可偏导，则称向量值函数 $f$ 在 $x^0$ 处可导，并称矩阵
$\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x^0)&\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x^0)&···&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x^0)\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x^0)&\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x^0)&···&\frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x^0)\\ ···&···&&···\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x^0)&\frac{\partial f_m}{\partial x_2}(x^0)&···&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x^0) \end{pmatrix}$
为向量值函数 $f$ 在 $x^0$ 处的导数，或者Jacobi矩阵。
全微分的基本定义
全微分：
设 $D\in R^2$ 为开集，$f(x,y)$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，$(x_0,y_0)\in D$，记 $f$ 的全增量为
$$\Delta f=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$
若存在只与 $(x_0,y_0)$ 有关而与 $\Delta x$，$\Delta y$ 无关的常数 $A$，$B$，使得
$$\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$$
则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处是可微的，$A\Delta x+B\Delta y$ 为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的全微分。
高阶微分：
$$d_kf=(dx\frac{\partial}{\partial x}+dy\frac{\partial}{\partial y})^kz$$
其中将 $\frac{\partial}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial}{\partial y}$ 看作求偏导数的运算符号，并规定
- $(\frac{\partial}{\partial x})^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}$
- $(\frac{\partial}{\partial y})^2=\frac{\partial^2}{\partial y^2}$
- $(\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial y})=\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}$
可微与可偏导的关系
若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，即可微必连续。
可微必可导，于是得到全微分公式：
$$df(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy$$
可微必定存在方向导数，只要 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，则对于任意方向 $v=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，都有方向导数公式：
$$\frac{\partial f}{\partial v}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\sin\alpha$$
Proof
$\frac{\partial f}{\partial v}(x_0,y_0)=\lim\limits_{t\rightarrow 0+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\sin\alpha)-f(x_0,y_0)}{t}$
$=\lim\limits_{t\rightarrow 0+}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)t\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)t\sin\alpha+o(t)}{t}$
$=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\sin\alpha$
用同样的思想可以定义 $n$ 元函数的全微分，即
$$du=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+···+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$
可偏导不一定可微。
Example
反例：
$f(x,y)=\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2},~~(x,y)\neq(0,0)\\
0,~~~~~~~~(x,y)=(0,0)
\end{cases}$
$f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=0$
同理，$f_y(0,0)=0$
因此 $f$ 在 $(0,0)$ 处可求偏导
但我们已知 $f$ 在 $(0,0)$ 处不连续，因此不可微。
连续且方向导数都存在也不一定可微。
Example
反例：
$f(x,y)=\begin{cases}
\frac{2xy^3}{x^2+y^4},~~~x^2+y^2\neq 0\\
0,~~~~~~~~~~x^2+y^2=0
\end{cases}$
由于 $|f(x,y)|=|\frac{2xy^2}{x^2+y^4}y|\leqslant|\frac{x^2+y^4}{x^2+y^4}y|=|y|$
所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续
且 $\lim\limits_{t\rightarrow 0+}\frac{f(0+t\cos\alpha,0+t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow 0+}\frac{2\cos\alpha\sin^3\alpha}{\cos^2\alpha+t^2\sin^4\alpha}t=0$
即方向导数均存在
假设其可微
则 $\Delta f-A\Delta x-B\Delta y=f(0+\Delta x,0+\Delta y)-f(0,0)-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y=f(\Delta x,\Delta y)$
令 $\Delta x=\Delta y^2$
则 $\lim\limits_{\Delta y\rightarrow0+}\frac{\Delta f-A\Delta x-B\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=\lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0+}\frac{\frac{2\Delta y^5}{\Delta y^4+\Delta y^4}}{\Delta y\sqrt{1+\Delta y^2}}=\lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0+}\frac{1}{\sqrt{1+\Delta y^2}}=1\neq0$
因此 $f$ 不可微。
可微的充分条件：若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的某个邻域内存在偏导数，且偏导数在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。
综上：
- 偏导数连续$\Longrightarrow$可微
- 可微$\Longrightarrow$连续，方向导数存在
- 方向导数存在$\Longrightarrow$偏导数存在
4.2 偏导数和全微分的应用
链式法则
二元函数：
设 $g:(u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v))$
设 $f:(x,y)\mapsto f(x,y)$
若 $g$ 在 $(u_0,v_0)$ 处可偏导，$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，则
$$\frac{\partial f}{\partial u}(u_0,v_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\frac{\partial x}{\partial u}(u_0,v_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\frac{\partial y}{\partial u}(u_0,v_0)$$
$$\frac{\partial f}{\partial v}(u_0,v_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\frac{\partial x}{\partial v}(u_0,v_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\frac{\partial y}{\partial v}(u_0,v_0)$$
Note
“$f$ 可微”不能减弱为“$f$ 可偏导”。
Example
反例：
$f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^2+y^2},~~~x^2+y^2\neq0\\
0,~~~~~~~~~~x^2+y^2=0
\end{cases}$
$\begin{cases}
x=t\\
y=t
\end{cases}$
$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$
直接代入 $t$ 可得：$f=\frac{t}{2}$
$f'(0,0)=\frac{1}{2}$
但由链式求导法则：$\frac{\partial f}{\partial t}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}=0$，矛盾。
$n$元函数：
设 $g:(x_1,···,x_n)\mapsto (y_1,···,y_m)$
设 $f:(y_1,···,y_m)\mapsto f(y_1,···,y_m)$
若 $g$ 在 $x^0=(x_1^0,···,x_n^0)$ 处可偏导，$f$ 在 $y^0=g(x^0)$ 处可微，则
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)=\frac{\partial f}{\partial y_1}(y^0)\frac{\partial y_1}{\partial x_i}(x^0)+···+\frac{\partial f}{\partial y_m}(y^0)\frac{\partial y_m}{\partial x_i}(x^0)$$
向量值函数：
设向量值函数 $f$ 和 $g$，其分别在定义域内有连续导数，记 $u=g(x)$，那么复合向量值函数 $f\circ g$ 在定义域内也有连续导数，且
$$(f\circ g)'(x)=f'(u)·g'(x)=f'(g(x))·g'(x)$$
其中 $f'(u)$，$g'(x)$ 和 $(f\circ g)'(x)$ 是相应的导数，即Jacobi矩阵。
中值定理
凸区域：
设 $D\in R^n$，若连结 $D$ 中任意两点的线段都完全属于 $D$，即：
$$\forall x_0,~x_1\in D,~\forall \lambda\in(0,1),~\lambda x_0+(1-\lambda)x_1\in D$
则称 $D$ 为凸区域。
中值定理：
设二元函数 $f(x,y)$ 在凸区域 $D\in R^2$ 上可微，则对于 $D$ 内任意两点 $(x_0,y_0)$ 和 $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) $，都存在 $\theta\in(0,1)$，使得
$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0+\theta\Delta x,y_0+\theta\Delta y)\Delta x+f_y(x_0+\theta\Delta x,y_0+\theta\Delta y)\Delta y$$
推论：若二元函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$（不一定是凸区域）上的两个偏导数 $f_x$，$f_y$ 恒为 $0$，则 $f$ 在 $D$ 上为常值函数。
Taylor公式
设函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的邻域内具有 $k+1$ 阶连续偏导数，则邻域内每一点 $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ 都成立
$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)+···+\frac{1}{k!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^kf(x_0,y_0)+R_k$$
其中：
$$R_k=\frac{1}{(k+1)!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^{k+1}f(x_0+\theta\Delta x,y_0+\theta\Delta y),~0<\theta<1$$
称为Lagrange余项。
$$(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^pf(x_0,y_0)=\sum\limits_{i=0}^pC_p^i\frac{\partial^pf}{\partial x^{p-i}\partial y^i}(x_0,y_0)(\Delta x)^{p-i}(\Delta y)^i$$
若使用Peano余项：
$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)+···+\frac{1}{k!}(\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial}{\partial y})^kf(x_0,y_0)+o((\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})^k)$$
隐函数
一元隐函数存在定理：
若二元函数 $F(x,y)$ 满足条件：
- $F(x_0,y_0)=0$
- 在闭矩形 $D={(x,y)||x-x_0|\leqslant a,|y-y_0|\leqslant b}$ 上，$F$ 连续且有连续偏导数
- $F_y(x_0,y_0)\neq 0$
则
- 在 $(x_0,y_0)$ 附近可由 $F(x,y)=0$ 唯一确定隐函数 $y=f(x)$
- 隐函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内连续
- 隐函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有连续的导数，且
$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$
多元函数隐函数存在定理：
若 $n+1$ 元函数 $F(x_1,x_2,···,x_n,y)$ 满足条件：
- $F(x_1^0,x_2^0,···,x_n^0,y^0)=0$
- 在闭长方体 $D={(x_1,x_2,···,x_n,y)||y-y_0|\leqslant b,|x_i-x_i^0|\leqslant a_i}$ 上，函数 $F$ 连续，且有连续偏导数
- $F_y(x_1^0,x_2^0,···,x_n^0,y_0)\neq 0$
则
- 在 $(x_1^0,x_2^0,···,x_n^0,y_0)$ 附近可由 $F(x_1,x_2,···,x_n,y)=0$ 唯一确定隐函数 $y=f(x_1,x_2,···,x_n)$
- 隐函数 $y=f(x_1,x_2,··,x_n)$ 在 $(x_1^0,x_2^0,···,x_n^0)$ 的邻域内连续
- 隐函数 $y=f(x_1,x_2,··,x_n)$ 在 $(x_1^0,x_2^0,···,x_n^0)$ 的邻域内有连续的偏导数，且
$\frac{\partial y}{\partial x_i}=-\frac{F_{x_i}(x_1,x_2,···,x_n,y)}{F_y(x_1,x_2,···,x_n,y)}$
在具体计算中，方程
$$F(x_1,x_2,···,x_n,y)=0$$
所确定的隐函数 $y=f(x_1,x_2,···,x_n)$ 的偏导数通常可如下计算：在方程两边对 $x_i$ 求偏导，利用链式法则即可得到：
$$\frac{\partial F}{\partial x_i}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x_i}=0$$
多元向量值隐函数存在定理：
设 $F(x,y,u,v)$ 和 $G(x,y,u,v)$ 满足条件：
- $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$
- 在与前两种情况类似的闭长方体中 $F$，$G$ 连续，且有连续偏导数
- 在 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 处，行列式
$\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}= \left|\begin{array}{c} F_u&F_v\\ G_u&G_v \end{array}\right|\neq 0$
则
-
在 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 附近可以由函数方程组
$\begin{cases} F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0 \end{cases}$
唯一确定向量值隐函数
$\begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} f(x,y)\\ g(x,y) \end{pmatrix}$ -
这个向量值隐函数在 $(x_0,y_0)$ 附近连续
- 这个向量值隐函数在 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的导数，且
$\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}=- \begin{pmatrix} F_u&F_v\\ G_u&G_v \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} F_x&F_y\\ G_x&G_y \end{pmatrix}$
空间几何
曲线的法平面与切线：
类型一：
$$\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$$
法平面方程：
$$\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\vert_{(P_0)}(x-x_0)+\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\vert_{(P_0)}(y-y_0)+\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\vert_{(P_0)}(z-z_0)=0$$
切线方程：
$$\frac{x-x_0}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}\vert_{(P_0)}}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}\vert_{(P_0)}}=\frac{z-z_0}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\vert_{(P_0)}}$$
类型二：
$$\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases}$$
法平面方程：
$$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$$
切线方程：
$$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$$
曲面的切平面与法线：
类型一：$z=f(x,y)$
切平面方程：
$$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$
法线方程：
$$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$$
类型二：$F(x,y,z)=0$
切平面方程：
$$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0$$
法线方程：
$$\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}$$
类型三：
$$\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases}$$
切平面方程：
$$\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\vert_{(u_0,v_0)}(x-x_0)+\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}\vert_{(u_0,v_0)}(y-y_0)+\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\vert_{(u_0,v_0)}(z-z_0)=0$$
法线方程：
$$\frac{x-x_0}{\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\vert_{(u_0,v_0)}}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}\vert_{(u_0,v_0)}}=\frac{z-z_0}{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\vert_{(u_0,v_0)}}$$
Example
例：求证：曲面$S:f(\frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c})=0$ 的任一切平面都经过某一定点，其中 $f$ 连续可微。
令 $F(x,y,z)=f(\frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c})=0$
则 $F_x=f_1·\frac{1}{z-c}$
$F_y=f_2·\frac{1}{z-c}$
$F_z=-\frac{1}{(z-c)^2}[f_1·(x-a)+f_2·(y-b)]$
于是对于 $\forall P_0(x_0,y_0,z_0)\in S$
$S$ 在 $P_0$ 处的切平面方程为 $F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0$
将在 $P_0$ 处的偏导数代入得到：
$f_1(u_0,v_0)(x-x_0)+f_2(u_0,v_0)(y-y_0)-\frac{1}{z_0-c}(f_1(u_0,v_0)(x_0-a)+f_2(u_0,v_0)(y_0-b))(z - z_0)=0$
其中 $u_0=\frac{x_0-a}{z_0-c}$，$v_0=\frac{y_0-b}{z_0-c}$
令 $(x,y,z)=(a,b,c)$
则左式 $=0$
定点即为 $(a,b,c)$
无条件极值
驻点：
设开区域 $D\subset R^n$，$f(x)$ 为定义在 $D$ 上的函数，$x_0=(x_1^0,x_2^0,···,x_n^0)$ 为 $D$ 上一点，若 $f$ 在 $x_0$ 可偏导，且
$$f_{x_1}(x_0)=f_{x_2}(x_0)=···=f_{x_n}(x_0)=0$$
则称 $x_0$ 为 $f$ 的驻点。
若 $f$ 可偏导，则驻点是极值点的必要条件。
偏导数不存在的点也可能是极值点。
二元函数的极值点：
设 $(x_0,y_0)$ 为 $f$ 的驻点，$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近有二阶连续偏导数，记
- $A=f_{xx}(x_0,y_0)$
- $B=f_{xy}(x_0,y_0)$
- $C=f_{yy}(x_0,y_0)$
并记
$$H=\left|\begin{array}{c} A&B\\ B&C \end{array}\right|=AC-B^2$$
则
- 若 $H>0$ 且 $A>0$（正定），则 $f(x_0,y_0)$ 为极小值
- 若 $H>0$ 且 $A<0$（负定），则 $f(x_0,y_0)$ 为极大值
- 若 $H<0$，则 $f(x_0,y_0)$ 不是极值
- 若 $H=0$，则 $f(x_0,y_0)$ 可能是极值，也可能不是极值
$n$元函数的极值点：
已知驻点和二阶连续偏导数，记
$$A_k=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&···&a_{2n}\\ ···&···&&···\\ a_{k1}&a_{k2}&···&a_{kk} \end{pmatrix}$$
为 $f$ 的 $k$ 阶Hessian矩阵，其中 $a_{ij}=f_{x_ix_j}(x_0)$
则
- 若 $\det A_k>0(k=1,2,···,n)$，则 $f(x_0)$ 为极小值
- 若 $k$ 为奇数时 $\det A_k<0$，$k$ 为偶数时 $\det A_k>0$，则 $f(x_0)$ 为极大值
- 其余情况 $f(x_0)$ 不是极值
条件极值
二元函数的条件极值：
设函数 $f(x,y)$，已知限制条件 $\varphi(x,y)=0$，则对于 $f$ 的条件极值点 $P_0=(x_0,y_0)$，存在 $\lambda_0$，使得：
$$\begin{cases} L_x(x_0,y_0,\lambda_0)=0\\ L_y(x_0,y_0,\lambda_0)=0\\ L_\lambda(x_0,y_0,\lambda_0)=0 \end{cases}$$
其中
$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$$
一般情形的条件极值：
设函数 $f(x_1,x_2,···,x_n)$，已知限制条件 $\varphi_k(x_1,x_2,···,x_n)=0$，$k=1,2,···,m(m<n)$，则对于 $f$ 的条件极值点 $P_0(x_1^0,x_2^0,···,x_n^0)$，存在 $\lambda_1^0,\lambda_2^0,···,\lambda_m^0$，使得：
$$\begin{cases} L_{x_1}=0\\ L_{x_2}=0\\ ···\\ L_{x_n}=0\\ L_{\lambda_1}=0\\ L_{\lambda_2}=0\\ ···\\ L_{\lambda_m}=0 \end{cases}$$
其中
$$L(x_1,x_2,···,x_n,\lambda_1,\lambda_2,···,\lambda_m)=f(x_1,x_2,···,x_n)+\sum\limits_{k=1}^m\lambda_k\varphi_k(x_1,x_2,···,x_n)$$
Example
例：求原点到直线 $\begin{cases}
x+y+z=1\\
x+2y+3z=6
\end{cases}$ 的最短距离。
求 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 在上述限制之下的最小值
令 $L(x,y,z,\lambda,\mu)=(x^2+y^2+z^2)+\lambda(x+y+z-1)+\mu(x+2y+3z-6)$
$\begin{cases}
2x+\lambda+\mu=0\\
2y+\lambda+2\mu=0\\
2z+\lambda+3\mu=0\\
x+y+z-1=0\\
x+2y+3z-6=0
\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}
x=-\frac{5}{3}\\
y=\frac{1}{3}\\
z=\frac{7}{3}\\
\lambda=\frac{22}{3}\\
\mu=-4
\end{cases}$
由于要求点到直线的最小距离，因此这个问题的最小值必然存在
因此唯一可能的极值点 $(-\frac{5}{3},\frac{1}{3},\frac{7}{3})$ 必定为最小值点
所求距离 $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{5}{\sqrt{3}}$