Chapter3 Euclid空间
3.1 Euclid空间的基本概念
点集的相关定义
定义：
$\forall x\in R^n$，$\forall E\subseteq R^n$
- 称 $x$ 是 $E$ 的一个内点，若 $\exists\delta>0$，使得 $O(x,\delta)\subseteq E$
- $x$ 是 $E$ 外点，若 $\exists\delta>0$，使得 $O(x,\delta)\cap E=\emptyset$
- 称 $x$ 是 $E$ 的一个边界点，若 $\forall\delta>0$，有 $O(x,\delta)\cap E\neq\emptyset$ 且 $O(x,\delta)\cap(C_{R^n}E)\neq\emptyset$
- $E$ 的全体内点组成的集合称为 $E$ 的内部，记作 $E^o$ 或 $intE$
- $E$ 的全体边界点组成的集合称为 $E$ 的边界，记作 $\partial E$
- 称 $x$ 是 $E$ 的一个聚点，若 $\forall\delta>0$，$O(x,\delta)$ 中有 $E$ 的无穷多个点
- $E$ 的全体聚点组成的集合称为 $E$ 的导集，记作 $E'$
- 称 $x$ 是 $E$ 的一个孤立点，若 $\exists\delta>0$，使得 $O(x,\delta)\cap E={x}$
- 定义 $\bar{E}=E\cup E'$ 为 $E$ 的闭包.
- 称 $E$ 是 $R^n$ 中的开集，如果 $E$ 中的每一个点都是 $E$ 的内点，即 $E^o=E$
- 称 $E$ 是 $R^n$ 中的闭集，如果 $E$ 中的每一个聚点都属于 $E$，即 $E=\bar{E}$
- 称 $E$ 是 $R^n$ 中的紧集，如果 $E$ 的任意一个开覆盖中总存在一个有限子覆盖包含 $E$
性质：
- 内点必属于 $E$，外点必不属于 $E$，边界点可能属于 $E$，也可能不属于 $E$
- 孤立点必是边界点
- 内点必是聚点，不是孤立点的边界点必是聚点. 聚点可能属于 $E$，也可能不属于 $E$
Euclid空间上的基本定理
聚点的充要条件：
$x$ 是点集 $E$ 的聚点的充要条件为：存在点列 $\{x_k\}$ 满足 $x_k\in E$ 且 $x_k\neq x$，使得 $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_k=x$。
Cauchy收敛原理：
$R^n$ 上的点列 $\{x_n\}$ 收敛的充要条件为：对于 $\forall\varepsilon>0$，$\exists N\in N^*$，使得对于$\forall m,n>N$，都有 $|x_m-x_n|<\varepsilon$。
闭集套原理：
设$\{E_m\}$是$R_n$中的一列非空闭集，且满足：
- $\forall m\geqslant 1$，$E_{m+1}\subset E_m$
- $\lim\limits_{m\rightarrow\infty}diamE_m=0$，其中 $diamE=\sup{|x-y||x,y\in E}$
则存在唯一的 $x\in R^n$，使得 $x\in\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}E_m$
推论：对于$\forall\varepsilon>0$，$\exists N\in N^*$，当 $n>N$ 时，有 $E_n\subset U(x,\varepsilon)$
Bolzano-Weierstrass定理：
$R^n$ 中的任一有界点列必有收敛子列。
聚点定理：
$R^n$ 中的有界无限点集必存在聚点。
Heine-Borel定理：
设 $E\in R^n$，则下列命题等价：
- $E$ 是 $R^n$ 中的紧集
- $E$ 是 $R^n$ 中的有界闭集
- $E$ 的任何一个无限子集在 $E$ 中都有聚点
3.2 多元连续函数
多元函数的极限
多元函数的收敛与极限：
设 $D$ 是 $R^n$ 上的开集，$x_0=(x_1^0,x_2^0,···,x_n^0)\in D$，$f(x)$ 为 $D\backslash{x_0}$ 上的 $n$ 元函数，$A\in R$，若
$$\forall \varepsilon>0,~\exists\delta>0,~\forall x\in O^o(x_0,\delta),~|f(x)-A|<\varepsilon$$
则称 $x$ 趋于 $x_0$ 时 $f(x)$ 收敛，极限为 $A$，记为
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$$
注意：在上面的定义中，$x\in O^o(x_0,\delta)$ 可以换成：
$$|x_1-x_1^0|<\delta,|x_2-x_2^0|<\delta,···,|x_n-x_n^0|<\delta$$
极限的性质：
若自变量沿不同曲线趋于同一定点时，极限不同或不存在，则该点极限一定不存在。
Example
$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$，$(x,y)\neq(0,0)$
考虑沿直线 $y=mx$ 趋于 $(0,0)$
则 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x,y)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{mx^2}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}$
对于不同的 $m$ 极限不同，因此极限不存在
即使点 $x$ 沿任意直线趋于 $x_0$ 的极限均存在且相等，$f$ 在 $x_0$ 处仍不一定有极限。
Example
$f(x,y)=\frac{(y^2-x)^2}{y^4+x^2}$，$(x,y)\neq(0,0)$
同样地，设直线 $y=mx$
计算可得沿直线趋于 $(0,0)$ 时 $f$ 极限均为 $1$
但考虑曲线 $y^2=x$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x,y)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(x-x)^2}{2x^2}=0$
极限不同，因此极限不存在
累次极限
二次极限：
设 $D$ 为 $R^2$ 上的开集，$(x_0,y_0)\in D$，$f(x,y)$为 $D\backslash\{x_0\}$ 上的二元函数，若对于每个固定的 $y\neq y_0$，极限 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x,y)$ 均存在，且极限
$$\lim\limits_{y\rightarrow y_0}\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x,y)$$
存在，则此极限为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处先对 $x$ 后对 $y$ 的二次极限。
二次极限存在不能保证二重极限存在。
二次极限和二重极限的关系：
若二重极限存在，则两个二次极限可能都不存在。
Example
$f(x,y)=\begin{cases}
(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{y},~~~~x,y\neq0\\
0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0||y=0
\end{cases}$
由于 $|f(x,y)|\leqslant x^2+y^2$
因此 $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0$，即二重极限存在
但在 $(0,0)$ 处两个二次极限均不存在。
若二重极限存在，则两个二次极限可能一个存在，一个不存在。
Example
$f(x,y)=\begin{cases}
y\sin\frac{1}{x},~~~~~x,y\neq0\\
0,~~~~~~~~~~~~~~x=0||y=0
\end{cases}$
在 $(0,0)$ 处显然有 $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0$，即二重极限存在
且 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\lim\limits_{y\rightarrow 0}y\sin\frac{1}{x})=0$
但先对 $x$ 后对 $y$ 的二次极限不存在。
若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点存在二重极限
$$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=A$$
且当 $x\neq x_0$ 时存在极限
$$\lim\limits_{y\rightarrow y_0}f(x,y)=\varphi(x)$$
则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 点的先对 $y$ 后对 $x$ 的二次极限存在，且等于 $A$。
同理：在二重极限存在的情况下，若当 $y\neq y_0$ 时有 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x,y)$ 存在，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 点的先对 $x$ 后对 $y$ 的二次极限存在，且等于 $A$.
综上，若 $f$ 的二重极限和两个二次极限均存在，则三者相等，此时极限运算可以交换次序。
多元函数的连续性
设 $D$ 是 $R^n$ 上的开集，$f$ 是定义在 $D$ 上的函数，$x_0\in D$，若
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$$
则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。
$\varepsilon-\delta$ 语言：
$$\forall \varepsilon>0,~\exists \delta>0,~\forall x\in O(x_0,\delta),~|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$
3.3 连续函数的性质
定理一：
连续映射将紧集映射成紧集。
定理二：
设 $K$ 是 $R^n$ 中紧集，$f$ 是 $K$ 上的连续函数，则 $f$ 在 $K$ 上有界。
定理三：
设 $K$ 是 $R^n$ 中紧集，$f$ 是 $K$ 上的连续函数，则 $f$ 在 $K$ 上能取到最大值和最小值。
定理四：
设 $K$ 是 $R^n$ 中紧集，$f:K\rightarrow R^m$ 为连续映射，则 $f$ 在 $K$ 上一致连续。