Chapter2 函数项级数
2.1 函数项级数的基本概念
函数列的相关定义
函数列：
设 $E\subseteq R$，$f_1,f_2,···,f_n,···$ 是定义在 $E$ 上的一系列函数，这一列函数称为 $E$ 上的一个函数列，记作$\{f_n\}$。
设 $x_0\in E$，若 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛（$n\rightarrow\infty$），则称函数列 $\{f_n\}$ 在点 $x_0$ 处收敛。
称 $\{x_0\in E|\{f_n(x_0)\}$收敛$\}$ 为 $\{f_n\}$ 的收敛域。
设 $D$ 为 $\{f_n\}$ 的收敛域，则可定义
$$f:D\rightarrow R$$
$$x\mapsto \lim\limits_{n\rightarrow \infty}f_n(x)$$
称 $f$ 为 $\{f_n\}$ 在 $D$ 上的极限函数，即 $\{f_n\}$ 在 $D$ 上收敛于 $f$。
函数项级数的相关定义
函数项级数：
设 $E\subseteq R$，$\{u_n(x)\}$ 是定义在 $E$ 上的一个函数列，取表达式（形式和）
$$u_1(x)+u_2(x)+···+u_n(x)+···,~x\in E$$
为 $E$ 上的函数项级数，记作 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 或 $\sum u_n(x)$。
设
$$S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^nu_n(x)$$
$\{S_n(x)\}$ 为 $\sum u_n(x)$ 的部分和函数列。
设 $x_0\in E$，若 $\{S_n(x)\}$ 在点 $x_0$ 收敛（或发散），则称 $\sum u_n(x)$ 在点 $x_0$ 收敛（或发散），$\sum u_n(x)$ 的收敛域定义为 $\{S_n(x)\}$ 的收敛域。
设 $D\subseteq E$，若 $\{S_n(x)\}$ 在 $D$ 上收敛，其极限函数为 $S(x)$，则称函数项级数 $\sum u_n(x)$ 在 $D$上收敛，其和函数为 $S(x)$，记作
$$\sum u_n(x)=S(x),~x\in D$$
综上：研究函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 的性质，实际上就是在研究函数列 $\{S_n(x)\}$ 的性质。
一致收敛的相关定义
点态收敛：
$ \forall \varepsilon>0$，$\forall x\in D$，$\exists N_{(\varepsilon,x)}\in N^*$，使得当 $n>N$ 时，有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
一致收敛：
$\forall \varepsilon>0$，$\exists N_{\varepsilon}\in N^*$，使得当 $n>N$ 时，对于 $\forall x\in D$，有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
内闭一致收敛：
设函数列 $\{f_n\}$ 和 $f$ 定义在区间 $I$ 上，若对于 $I$ 的任何一个闭子区间 $[a,b]$，都有 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$，则称 $\{f_n\}$ 在 $I$ 上内闭一致收敛。
Example
例：证明：$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛。
$f(x)=\begin{cases}
0,~~~~0\leqslant x<1\\
1,~~~~x=1
\end{cases}$
取 $\varepsilon_0=\frac{1}{2}$，$\forall N\in N^*$，取 $n=N+1$，取 $x=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{n}}$
有 $|f_n(x)-f(x)|=\frac{1}{2}\geqslant \varepsilon_0$
因此不一致收敛。
2.2 一致收敛
一致收敛的性质
连续性定理：
若函数列 $\{f_n(x)\}$ 满足：
- 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$
- 每一项 $f_n(x)$ 都在 $[a,b]$ 上连续
则其极限函数 $f$ 也在 $[a,b]$ 上连续。
若函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 满足：
- 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $S(x)$
- 每一项 $u_n(x)$ 都在 $[a,b]$ 上连续
则其和函数 $S(x)$ 也在 $[a,b]$ 上连续，且对于任意 $x_0\in[a,b]$，成立
$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lim\limits_{x\rightarrow x_0}u_n(x)$$
即极限运算和无限求和计算可以交换次序。
Note
若任意 $u_n(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，只要 $\sum u_n(x)$ 内闭一致收敛于 $S(x)$，就足以保证 $S(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续。
逐项积分定理：
若函数列 $\{f_n(x)\}$ 满足：
- 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$
- 每一项 $f_n(x)$ 都在 $[a,b]$ 上连续
则其极限函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。
若函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 满足：
- 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $S(x)$
- 每一项 $u_n(x)$ 都在 $[a,b]$ 上连续
则其和函数 $S(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，且
$$\int_a^b\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_a^bu_n(x)dx$$
即积分运算可以和无限求和运算交换顺序。
逐项求导定理：
设函数列 $\{f_n\}$ 满足：
- $f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续的导数
- $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上点态收敛于 $f$
- $\{f_n'\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛
则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导。
设函数项级数 $\sum u_n(x)$ 满足：
- 任意一项 $u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续的导数
- $\sum u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上点态收敛于 $S(x)$
- $\sum u_n'(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛
则 $S(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
$$\frac{d}{dx}\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}u_n(x)$$
即求导运算可以和无限求和运算交换次序。
Note
若 $\sum u_n(x)$ 在 $(a,b)$ 上收敛于 $S(x)$，且每个 $u_n(x)$ 在 $(a,b)$ 上都有连续的导数，则只要 $\sum u_n'(x)$ 在 $(a,b)$ 上内闭一致收敛，就足以保证 $S(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导。
一致收敛的判别
充要条件一：
$\{f_n\}$ 在收敛域 $D$ 上一致收敛于 $f$ 的充要条件是：
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0$$
Example
例1：令 $f_n(x)=nxe^{-nx^2},$，$x\in(0,+\infty)$，判别 $\{f_n\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的一致收敛性。
极限函数 $f(x)=0$
令 $M_n=\sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in (0,+\infty)\}=\sup\{nxe^{-nx^2}:x\in(0,+\infty)\}$
取 $x=\frac{1}{\sqrt{n}}$
则 $M_n\geqslant\frac{\sqrt{n}}{e}$，不趋于0
$\{f_n\}$ 不一致收敛
（或者可以通过求导的方式直接算出 $nxe^{-nx^2}$ 的最大值，也就是 $M_n$）
Example
例2：设 $S_0(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续，令 $S_n(x)=\int_0^xS_{n-1}(t)dt$，证明：${S_n(x)}$ 在 $[0,a]$ 上一致收敛于 $0$。
令 $M_n=\sup\{|S_n(x)|:x\in[0,a]\}$
由 $S_0\in C[0,a]$，可知 $S_0$ 有界
$\exists k>0$ 使得 $|S_0(x)|\leqslant k$
$|S_1(x)|\leqslant kx$
$|S_2(x)|\leqslant k·\frac{x^2}{2}$
······
$|S_n(x)|\leqslant k·\frac{x^n}{n!}$
$M_n\leqslant k·\frac{a^n}{n!}$
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}M_n=0$
因此一致收敛。
Example
例3：设 $S'(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上连续，$S_n(x)=n[S(x+\frac{1}{n})-S(x)]$，证明：${S_n(x)}$ 在区间 $(a,b)$ 上一致收敛于 $S'(x)$。
对于 $\forall [c,d]\subseteq(a,b)$，$S'(x)$ 在 $[c,d]$ 上一致连续
$\Longrightarrow \forall\varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，当 $x'$，$x''\in[c,d]$ 时，只要 $|x'-x''|<\delta$，就有 $|S'(x')-S'(x'')|<\varepsilon$
令 $N=\frac{1}{\delta}$，当 $n>N$ 时，$\forall x\in[c,d]$，由Lagrange中值定理：
$\exists \xi\in(x,x+\frac{1}{n})$，使得 $S_n(x)=\frac{S(x+\frac{1}{n})-S(x)}{(x+\frac{1}{n})-x}=S'(\xi)$
于是由 $|\xi-x|\leqslant\frac{1}{n}<\frac{1}{N}=\delta$
有 $|S_n(x)-S'(x)|=|S'(\xi)-S'(x)|<\varepsilon$
充要条件二：
$\{f_n\}$ 在收敛域 $D$ 上一致收敛于 $f$ 的充要条件是：对任意数列 ${x_n}$，$x_n\in D$，成立
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(f_n(x_n)-f(x_n))=0$$
该充要条件常用于判断函数列的不一致收敛。
Example
例：证明函数列 $\{f_n\}$，$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1)$ 上不一致收敛。
$f=0$
取 $x_n=1-\frac{1}{n}\in[0,1)$
$f_n(x_n)-f(x_n)=(1-\frac{1}{n})^n\longrightarrow\frac{1}{e}(n\rightarrow\infty)$
因此该函数列在 $[0,1)$ 上不一致收敛。
Cauchy收敛准则：
$\sum u_n(x)$ 在收敛域 $D$ 上一致收敛的充要条件是：
$\forall \varepsilon>0$，$\exists N_{(\varepsilon)}\in N^*$，$\forall n>N$，$\forall p\in Z^+$，$\forall x\in D$，有 $|u_{n+1}(x)+···+u_{n+p}(x)|<\varepsilon$
若取 $p=1$，则可得到函数项级数一致收敛的必要条件为 $\{u_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $0$。
推论：$\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛于 $S(x)\Longleftrightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in D}{|S_n(x)-S(x)|}=0$
Example
例：求 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$ 的收敛域，并判断其在收敛域内的一致收敛性。
$S_n(x)=\begin{cases}
\frac{1-x^{n+1}}{1-x}, x\neq 1\\
n+1, x=1
\end{cases}$
当且仅当 $|x|<1$ 时，$S_n(x)$ 收敛，且 $S(x)=\frac{1}{1-x}$
$\sup\limits_{|x|<1}\{|S_n(x)-S(x)|\}=\sup\limits_{|x|<1}\{|\frac{x^{n+1}}{1-x}|\}$
取 $x=1-\frac{1}{n}$ 满足 $|x|<1$
则上式 $\geqslant \frac{(1-\frac{1}{n})^{n+1}}{\frac{1}{n}}=n(1-\frac{1}{n})^n(1-\frac{1}{n})$，发散到 $+\infty$
由Cauchy收敛原理：该函数项级数在收敛域 $(-1,1)$ 内不一致收敛。
Weierstrass判别法：
设 $D$ 上的函数项级数 $\sum u_n$，若存在收敛的正项级数 $\sum a_n$，使得存在 $N\in N^*$，对于任意 $n>N$ 及$x\in D$，都有 $|u_n(x)|\leqslant a_n$，则 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。
$\sum a_n$ 也称作 $\sum u_n(x)$ 的优级数。
Dirichlet判别法：
若函数项级数 $\sum u_n(x)$，$\sum v_n(x)$ 满足：
- $\sum u_n(x)$ 的部分和数列 $\{S_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致有界，即存在 $N\in N^*$，对于 $\forall n>N$ 及 $\forall x\in D$，都有 $|S_n(x)|=|\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x)|\leqslant M$
- 对于 $\forall x\in D$，$\{v_n(x)\}$ 关于 $n$ 单调，且 $\{v_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $0$
则 $\sum u_n(x)v_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。
Example
例：若 $\{a_n\}$ 单调收敛于 $0$，求证：$\sum a_n\cos nx$ 在 $(0,2\pi)$ 上内闭一致收敛。
任取闭区间 $[a,b]\subseteq (0,2\pi)$
存在 $\theta$ 使得 $\sin \frac{x}{2}$ 取最小
令 $v_n(x)=a_n$，$u_n(x)=\cos nx$
$|2\sin \frac{x}{2}\sum\limits_{k=1}^n\cos kx|=|\sum\limits_{k=1}^n(\sin(k+\frac{1}{2})x-\sin(k-\frac{1}{2})x)|\leqslant 2$
$|\sum\limits_{k=1}^nu_k(x)|\leqslant\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\leqslant\frac{1}{\sin \frac{\theta}{2}}$
$\sum u_n(x)$ 的部分和数列一致有界
$\sum v_n(x)$ 关于 $n$ 单调趋于 $0$
由Dirichlet判别法：该函数项级数在 $(0,2\pi)$ 上内闭一致收敛。
Abel判别法：
若函数项级数 $\sum u_n(x)$，$\sum v_n(x)$ 满足：
- $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛
- 对于 $\forall x\in D$，$\{v_n(x)\}$ 关于 $n$单调，且 $\{v_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致有界
则 $\sum u_n(x)v_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。
Example
例1：若 $\sum a_n$ 收敛，求证：$\sum a_nx^n$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
令 $u_n(x)=a_n$
则$\sum u_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛
令 $v_n(x)=x^n$
则对 $\forall x\in D$，$\{v_n(x)\}$ 关于 $n$ 单调，且 $|x^n|\leqslant 1$ 一致有界
由Abel判别法：该函数项级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。
Example
例2：判断 $\sum\frac{(-1)^n(x+n)^n}{n^{n+1}}$，$x\in [0,1]$ 的一致收敛性。
令 $u_n(x)=\frac{(-1)^n}{n}$
则 $\sum u_n(x)$ 一致收敛
令 $v_n(x)=(\frac{x+n}{n})^n=(1+\frac{x}{n})^n$
取对数求导可得：$\{v_n(x)\}$ 关于 $n$ 单调递增
$v_n(x)\leqslant v_n(1)=(1+\frac{1}{n})^n\leqslant e$
$\{v_n(x)\}$ 一致有界
由Abel判别法：该函数项级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。
2.3 幂级数
幂级数的相关定义
幂级数：
称形如
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+···+a_n(x-x_0)^n+···$$
的函数项级数为幂级数。其中 $a_i$ 为常数，称为幂级数的级数，$x_0$ 也是常数。
Note
我们一般研究 $x_0=0$ 时的情形：$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+···+a_nx^n+···$。
收敛半径：
令
$$A=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$$
或
$$A=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$$
定义
$$R=\frac{1}{A}$$
则：
- 当 $|x|<R$ 时，$\sum a_nx^n$ 在 $x$ 处绝对收敛
- 当 $|x|>R$ 时，$\sum a_nx^n$ 在 $x$ 处发散
- 当 $|x|=R$ 时，$\sum a_nx^n$可能收敛，也可能发散
称 $R$ 为幂级数的收敛半径，$(-R,R)$ 为幂级数的收敛区间。
- 若 $R=0$，则幂级数仅在 $x=0$ 处收敛
- 若 $R=+\infty$，则幂级数在任意 $x$ 处收敛
幂级数的性质
Abel第一定理：
若幂级数 $\sum a_nx^n$ 在点 $\xi$ 处收敛，则对于任意满足 $|x|<\xi$ 的 $x$，必有幂级数在点 $x$ 处绝对收敛。
Abel第二定理：
若幂级数 $\sum a_nx^n$ 的收敛半径 $R>0$，则：
- 幂级数 $\sum a_nx^n$ 在 $(-R,R)$ 内闭一致收敛.
- 若幂级数 $\sum a_nx^n$ 在 $x=R$ 处收敛，则其在$[0,R]$ 上一致收敛.（$x=-R$ 同理）
连续性：
幂级数在其收敛域上连续。
设 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径为 $R$，则其和函数在 $(-R,R)$ 上连续.
若 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 在 $x=R$（或 $-R$）收敛，则其和函数在 $x=R$（或 $-R$）左（右）连续.
逐项可积性：
幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上可以逐项求积分.
$\forall a$，$b$ 位于 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 的收敛域中，都有：
$$\int_a^b(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n)dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_a^b(a_nx^n)dx$$
特别地：取 $a=0$，$b=x$，$x$在收敛域内，有：
$$\int_0^x(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n)dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$$
Note
逐项积分所得幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ 与原幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 具有相同的收敛半径，但收敛域有可能扩大。
逐项可导性：
设 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径为 $R$，则其在 $(-R,R)$ 上可逐项求导，即：
$$\frac{d}{dx}(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}$$
Note
逐项求导所得幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}$ 与原幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 具有相同的收敛半径，但收敛域有可能缩小。
Example
例1：求 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n^2x^n$ 的和函数。
收敛域为 $(-1,1)$
设和函数为 $S(x)$
$S(x)=x\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n^2x^{n-1}$
记为$xf(x)$，$x\in(-1,1)$
有 $\int_0^xf(t)dt=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n^2\int_0^xt^{n-1}dt=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}nx^n=x\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}nx^{n-1}$
记为 $xg(x)$
则 $\int_0^xg(t)dt=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n·\frac{x^n}{n}=\frac{x}{1+x}$
$g(x)=(\frac{x}{1+x})'=\frac{1}{(1+x)^2}$
$f(x)=(xg(x))'=\frac{1-x}{(1+x)^3}$
$S(x)=xf(x)=\frac{x-x^2}{(1+x)^3}$
Example
例2：求 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n+1}}{(2n)^2-1}$ 的收敛域及和函数。
令 $u_n(x)=(-1)^{n-1}\frac{x^{2n+1}}{(2n)^2-1}$
则 $|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|$ 趋于 $x^2$
由比式判别法：$|x|>1$ 时，$\sum u_n(x)$ 发散
$|x|<1$ 时，$\sum u_n(x)$ 收敛
收敛半径为 $1$
当 $|x|=1$ 时，$\sum|u_n(x)|=\sum\frac{1}{(2n)^2-1}$ 收敛
故收敛域为 $[-1,1]$
令 $S(x)$ 为和函数，先考虑 $x\in(-1,1)$
则对于 $\forall x\in(-1,1)$
$S'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n-1}=x\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$
记为 $xf(x)$
$f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{2n-2}=\frac{1}{1+x^2}$
可推出 $f(x)=\int_0^xf'(t)dt+f(0)=\arctan x$
于是 $S(x)=\int_0^xS'(t)dt+S(0)=\frac{1}{2}x^2\arctan x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\arctan x$
由于上式在 $-1$，$1$ 处均连续
因此结合幂级数和函数的连续性，可知
$S(x)=\frac{1}{2}x^2\arctan x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\arctan x$
函数的幂级数展开
Taylor级数：
设 $f$ 在点 $x_0$ 无穷次可导，称
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$
为 $f$ 在点 $x_0$ 处的Taylor级数。
若存在 $r>0$，使得
$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$
对于 $\forall x\in(x_0-r,x_0+r)$ 恒成立，则称 $f$ 在 $(x_0-r,x_0+r)$ 上可以展开成Taylor级数。此时的Taylor级数被称为 $f$ 的Taylor展开式（幂级数展开式）。
若已知
$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,~x\in(x_0-r,x_0+r),~r>0$$
则必有
$$a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$
其称为 $f$ 在点$x_0$ 处的Taylor系数。
函数展开成Taylor级数的条件：
充要条件：余项趋于0
$$f(x)=T_n(x)+R_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$$
其中 $R_n(x)$ 为余项。
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}T_n(x)+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n(x)$$
$$f(x)=Taylor+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n(x)$$
$f$ 在收敛域内等于其Taylor级数当且仅当 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0$。
充分条件：导数的一致有界
若对于 $\forall x\in(x_0-r,x_0+r)$，当 $n$ 充分大时，有 $|f^{(n)}(x)|\leqslant M$，即一致有界，则对于 $\forall x\in(x_0-r,x_0+r)$，有 $f$ 等于其Taylor级数。
初等函数的Maclaurin展开式：
-
$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+···+\frac{x^n}{n!}+···$，$x\in R$
-
$\sin x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-···+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+···$，$x\in R$
-
$(1+x)^{\alpha}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}x^n=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)···(\alpha-n+1)}{n!}x^n$，$x\in\begin{cases}(-1,1),~~~\alpha\leqslant-1\\ (-1,1],~~~ -1<\alpha<0\\ [-1,1],~~~\alpha>0\end{cases}$
-
$\ln(1+x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+···+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+···$，$x\in(-1,1]$
Example
例1：求 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 在 $x=1$ 处的Taylor展开式。
$\frac{1}{x}=\frac{1}{1+(x-1)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n$，$x\in(0,2)$
逐项求导：$-\frac{1}{x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nn(x-1)^{n-1}$
$\frac{1}{x^2}=-\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nn(x-1)^{n-1}$，$x\in(0,2)$
Example
例2：求 $f(x)=\frac{1}{3+5x-2x^2}$ 的Maclaurin展开式。
$f(x)=\frac{1}{(3-x)(1+2x)}=\frac{1}{7}(\frac{1}{3-x}+\frac{2}{1+2x})$
由于 $\frac{1}{3-x}=\frac{1}{3}·\frac{1}{1+(-\frac{x}{3})}=\frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac{x}{3})^n$，$x\in(-3,3)$
$\frac{1}{1+2x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(2x)^n$，$x\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
所以当 $x\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$时
$f(x)=\frac{1}{7}\sum\limits_{n=0}^{\infty}[\frac{1}{3^{n+1}}+(-1)^n2^{n+1}]x^n$