Chapter7 反常积分
7.1 无穷积分
无穷积分
设函数$f(x)$在$[a,+\infty)$有定义，且在任意有限区间上可积，若极限
$$\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\int_a^bf(x)dx$$
存在，则称反常积分$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛，上式即为其积分值（反之则称其发散）
Example
例1：设$p$为任意实数，探究$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$的敛散性。
Example
例2：求$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}dx$。
反常积分的Cauchy收敛原理
Cauchy收敛原理
$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛的充要条件为：
$$\forall \varepsilon>0,~\exists A_0>a,~\forall c>b>A_0,~|\int_b^cf(x)dx|<\varepsilon$$
推论：
若$\int_a^{+\infty}|f(x)|dx$收敛，则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$也收敛，且
$$|\int_a^{+\infty}f(x)dx|\leqslant \int_a^{+\infty}|f(x)|dx$$
绝对收敛和条件收敛
若$\int_a^{+\infty}|f(x)|dx$收敛，则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$绝对收敛。
若$\int_a^{+\infty}|f(x)|dx$发散，$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛，则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$条件收敛。
非负函数反常积分的收敛判别法
比较判别Ⅰ：
设在$[a,+\infty)$上恒有$0\leqslant f(x) \leqslant Cg(x)$，其中$C$是正数，则
(1) 若$\int_a^{+\infty}g(x)dx$收敛，则$\int_a^{+\infty}f(x)dx$也收敛
(2) 若$\int_a^{+\infty}f(x)dx$发散，则$\int_a^{+\infty}g(x)dx$也发散
比较判别Ⅱ：
设$f(x),g(x)$在$[a,+\infty)$上非负，且$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=C$，则
(1) 若$0\leqslant C<+\infty$，则$\int_a^{+\infty}g(x)dx$收敛时，$\int_a^{+\infty}f(x)dx$也收敛
(2) 若$0<C\leqslant +\infty$，则$\int_a^{+\infty}g(x)dx$发散时，$\int_a^{+\infty}f(x)dx$也发散
Example
例：探究$\int_a^{+\infty}e^{-x^2}dx$的收敛性。
一般函数反常积分的收敛判别法
Abel判别：
若$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛，$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调有界，则$\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$收敛。
Proof
Dirichlet判别：
若$F(A)=\int_a^{A}f(x)dx$在$[a,+\infty)$上有界，$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调且$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0$，则$\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$收敛。
Proof
7.2 瑕积分
略