Chapter3 微分

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3.1 微分和导数

微分

对函数$y=f(x)$定义域中的一点$x_0$,若存在一个只与$x_0$有关，而与$\Delta x$无关的数$g(x_0)$，使得当$\Delta x\rightarrow 0$时恒成立关系式

$$\Delta y=g(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$$

则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可微。

$\Delta x$称为自变量的微分，记作dx。

$\Delta y$称为因变量的微分，记作dy。

导数

若函数$f(x)$在其定义域上的一点$x_0$处极限

$$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)$$

存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。

我们易知微分关系式中的$g(x_0)$即为$f'(x_0)$。

$f(x)$在$x_0$处可导的充要条件是相应的左极限和右极限存在且相等。

Note

可微一定可导，可导一定可微；可微一定连续，可导一定连续；连续不一定可微，连续不一定可导。

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3.2 导数的运算法则

常见初等函数的导数

$$(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$$

$$(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x$$

$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$

反函数求导定理

若函数$y=f(x)$在$(a,b)$上严格单调、可导且$f'(x)\neq 0$,记值域为$(\alpha ,\beta)$,则它的反函数$x=f^{-1}(y)$在$(\alpha ,\beta)$上可导，且

$$[f^{-1}(y)]'=\frac{1}{f'(x)}$$

Example

例:求$y=arctanx$的导函数。

设反函数$x=\tan y$
$(\arctan x)'=\frac{1}{(\tan y)'}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2y}}=\frac{1}{1+\tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}$

Leibniz公式

$$[f(x)·g(x)]^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)$$

参数形式函数的求导法则

设自变量$x$和因变量$y$的函数关系由参数形式

$$\begin{cases} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}$$

确定，$\phi(t)$严格单调且$\phi'(t)\neq 0$

则

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$$

记上式为$\xi(t)$,则求$\frac{d^2y}{dx^2}$实际上是在求

$$\begin{cases} x=\phi(t)\\ \frac{dy}{dx}=\xi(t) \end{cases}$$

的导函数，则

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\xi'(t)}{\phi'(t)}$$

Note

$\frac{d^2y}{dx^2}\neq\frac{\psi''(t)}{\phi''(t)}$

Example

例：求摆线
$\begin{cases}
x=t-\sin t\\
y=1-\cos t\\
\end{cases}$
的一阶导数和二阶导数。($0\leqslant t\leqslant 2\pi$)

设$x=\phi (t)$
则$\phi '(t)=1-\cos t$
设$y=\psi (t)$
则$\psi '(t)=\sin t$
所以$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$
记为$\xi (t)$
$\xi '(t)=\frac{1}{\cos t-1}$
则$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{(\cos t-1)^2}$

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