Chapter1 数列极限
1.1 实数系基本定理
确界存在定理
有界集：
设集合$E\subset R$，若
$$\exists M\in R,~\forall x\in E,~x\leqslant M$$
则称$M$是$E$的上界。（下界定义同理）
若集合$E$既有上界又有下界，即
$$\exists M\geqslant 0,~\forall x\in E,~|x|\leqslant M$$
则称$E$是有界集。
上确界和下确界：
若$\alpha$满足：
-
$\alpha$是$E$的上界：$\forall x\in E,x\leqslant \alpha$
-
任何小于$\alpha$的数都不是$E$的上界：$\forall \varepsilon>0,\exists x'\in E,x'>\alpha-\varepsilon$
则称$\alpha$为$E$的上确界，记为sup(E)。（下确界同理，记为inf(E)）
确界存在定理：
非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。
Proof
（注：Dedekind分割定理：若$A/B$为$R$的一个分割，则要么$A$有最大数，要么$B$有最小数）
单调有界定理
单调有界定理：
单调有界数列必收敛。
Proof
Example
例1：设$a_1=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$，研究$a_n$极限。
Example
例2：设$a_1=1,a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$，研究$a_n$极限。
重要极限e：
设$x_n=(1+\frac{1}{n})^n,y_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$，则$x_n,y_n$收敛，且收敛于同一极限（记为$e$）。
Proof
设$z_n=1+\frac{1}{2}+···+\frac{1}{n}-ln~n$，则$z_n$收敛（记为$Euler$常数$\gamma$）
Proof
闭区间套定理
闭区间套：
若一系列闭区间$[a_n,b_n]$满足：
-
$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$
-
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(b_n-a_n)=0$
则称这一系列闭区间形成一个闭区间套。
闭区间套定理：
若一系列闭区间$\{[a_n,b_n]\}$形成闭区间套，则存在唯一$\xi$属于所有闭区间，且$\xi=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n$。
Proof
Bolzano-Weierstrass定理（致密性定理）
子列：
设数列$\{x_n\},n_1<n_2<···<n_k<n_{k+1}<···$是一系列严格单调递增的正整数，则$x_{n_1},x_{n_2},···,x_{n_k},···$形成一个新的数列$\{x_{n_k}\}$，称为数列$\{x_n\}$的子列。
- 若$\{x_n\}$收敛于$a$，则其所有子列均收敛于$a$
- 若存在$\{x_n\}$的两个子列分别收敛于不同的极限，则$\{x_n\}$发散
- 若$\{x_n\}$的奇数子列和偶数子列都收敛于$a$，则$\{x_n\}$收敛于$a$
致密性定理：
有界数列必有收敛子列。
Proof
法一：
法二：
Cauchy收敛原理
基本数列：
如果数列$\{x_n\}$满足：
$$\forall \varepsilon>0,~\exists N\in N^*,~\forall n,~m>N,~|x_n-x_m|<\varepsilon$$
则称$\{x_n\}$是一个基本数列。
Cauchy收敛原理：
数列$\{x_n\}$收敛的充要条件为：$\{x_n\}$是基本数列。
Proof
Example
例：设数列$\{a_n\}$，若存在常数$C\geqslant 0,0\leqslant q \leqslant 1,N_0\in N^*$，使得当$n>N_0$时，有$|a_{n+1}-a_n|\leqslant Cq^n$，证明：$\{a_n\}$收敛。
有限覆盖定理
覆盖：
设集合$A\subset R,\{E_\lambda\}$是一组$R$的子集组成的集合。若$A\subset \bigcup E_\lambda$，则称$\{E_\lambda\}$是$A$的一个覆盖。
若$\forall \lambda,E_\lambda$均为开区间，则该覆盖为开覆盖。
若只有有限个$E_\lambda$，则该覆盖为有限覆盖。
有限覆盖定理：
设闭区间$[a,b]$，对于任意一个$[a,b]$的开覆盖$\{E_\lambda\}$，存在$\{E_\lambda\}$的一个子集构成$[a,b]$的有限覆盖。
聚点定理
聚点：
设集合$E\subset R$，若$x_0\in R$满足
$$\forall \delta >0,~U^0(x_0,\delta)\cap E\neq \emptyset$$
则称$x_0$是$E$的一个聚点.
等价命题： * $x_0$是$E$的聚点 * $\forall \delta >0$，在$U^0(x_0,\delta)$中有$E$的无穷多个点 * 存在$E$中互异的点组成的序列$\{x_n\}$，使得$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=x_0$
聚点定理：
$R$中任何一个有界无穷子集至少有一个聚点。
1.2 数列极限
对于数列$\{x_n\}$，若：
$$\forall \varepsilon>0,~\exists N\in N^*,~\forall n>N,~|x_n-a|<\varepsilon$$
则$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=a$，$\{x_n\}$收敛于$a$，$a$称为数列$\{x_n\}$的极限。
（若不存在$a$，则称数列$\{x_n\}$发散）
Example
例：证明：若$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=a$，则$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{x_1+x_2+···x_n}{n}=a$。
数列极限的性质
唯一性：
收敛数列的极限必唯一。
有界性：
收敛数列必有界。
保号性：
若$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=a>0$，则必存在$N\in N^*$，当$n>N$时，$x_n>\frac{a}{2}$。
保序性：
设数列$\{x_n\},\{y_n\}$均为收敛数列，若$\exists N_0$，当$n>N_0$时，有$x_n\leqslant y_n$，则有$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n\leqslant \lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n$。
若$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n\leqslant \lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n$，则$\exists N_0$，当$n>N_0$时，有$x_n\leqslant y_n$。
绝对值：
若数列$\{x_n\}$收敛于$a$，则$\{|x_n|\}$收敛于$|a|$。
夹逼性：
若数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$满足：
$$\exists N_0\in N^*,~\forall n\geqslant N_0,~a_n\leqslant b_n\leqslant c_n$$
且
$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_n=a$$
则:
$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n=a$$
Example
例1：证明：当$a>0$时，$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}=1$。
Example
例2：设$x_n>0$，且$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=a$，证明：$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{x_1x_2···x_n}=a$。
Example
例3：证明：$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(a_1^n+a_2^n+···+a_p^n)^{\frac{1}{n}}=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant p}\{a_i\}$，其中$a_i\geqslant 0(i=1,2,···,p)$
1.3 无穷量
无穷小量
若数列$\{x_n\}$满足$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=0$，则称$\{x_n\}$为无穷小量。
无穷大量
若$\forall G>0,~\exists N\in N^{*},~\forall n>N,~|x_n|>G$，则数列$\{x_n\}$是无穷大量。
若$\forall G>0,~\exists N\in N^{*},~\forall n>N,~x_n>G$，则数列$\{x_n\}$是正无穷大量。（负无穷大量同理）
Stolz定理
若$\{y_n\}$是严格单调递增的正无穷大量，且
$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a$$
其中$a$可以为有限量，$+\infty$与$-\infty$。则
$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{x_n}{y_n}=a$$
Proof
