Chapter7 空间几何
7.1 线性图形的位置关系
平面间的位置关系：平行、重合、相交：
两平面方程构成的方程组：$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \end{cases}$
记系数矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{pmatrix}$
增广矩阵 $(A,b)=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2 \end{pmatrix}$
- 当 $r(A)=r(A,b)=2$ 时
两平面相交 - 当 $r(A)=r(A,b)=1$ 时
两平面重合 - 当 $r(A)=1$，$r(A,b)=2$ 时
两平面平行且不重合
平面与直线间的位置关系：平行、相交、直线在平面上：
平面方程（第一行）与直线方程（第二、三行）构成的方程组：$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{cases}$
记系数矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}$
增广矩阵 $(A,b)=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3 \end{pmatrix}$
由于方程第二、三行联立表示直线，因此 $r(A)\geqslant2$，$r(A,b)\geqslant2$
- 当 $r(A)=r(A,b)=3$ 时
直线与平面相交于一点 - 当 $r(A)=r(A,b)=2$ 时
直线在平面上 - 当 $r(A)=2$，$r(A,b)=3$ 时
直线与平面平行且不在平面上
直线间的关系：重合、相交、平行、不共面（交叉不相交）：
第一条直线的方程组（第一、二行）和第二条直线的方程组（第三、四行）构成的方程组：$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\\ a_{41}x_1+a_{42}x_2+a_{43}x_3=b_4 \end{cases}$
记系数矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43} \end{pmatrix}$
增广矩阵 $(A,b)=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&b_4 \end{pmatrix}$
- 当 $r(A)=r(A,b)=3$ 时
两条直线相交 - 当 $r(A)=r(A,b)=2$ 时
两条直线重合 - 当 $r(A)=2$，$r(A,b)=3$ 时
两条直线平行不相交 - 当 $r(A)=3$，$(A,b)=4$ 时
两条直线不平行也不相交
7.2 线性图形的度量关系
点到平面的距离：
已知点 $P(x_1,y_1,z_1)$，平面 $\pi:a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
过 $P$ 作垂直于 $\pi$ 的直线 $L:\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$
求 $L$ 与 $\pi$ 的交点 $Q(x_2,y_2,z_2)$
则 $P$ 到 $\pi$ 的距离
$$d=|PQ|$$
更简单的方法：
$\pi$ 的单位法向量 $n^0=\frac{(a,b,c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
由 $\pi$ 的方程可知其显然过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$
则
$$d=|\overrightarrow{P_0P}·n^0|=\frac{|a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)+c(z_1-z_0)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
若将 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ 写成 $ax+by+cz+f=0$ 的形式
则
$$d=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+f|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
点到直线的距离：
已知点 $P(x_1,y_1,z_1)$，直线 $L:\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$
$L$ 过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$
$L$ 方向向量 $n=(l,m,n)$
距离
$$d=\frac{|n\times\overrightarrow{P_0P}|}{|n|}$$
平面间的距离：
已知平行平面 $\pi_1:ax+by+cz+f_1=0$
$\pi_2:ax+by+cz+f_2=0$
取 $\pi_1$ 上一点 $P_1(x_1,y_1,z_1)$
取 $\pi_2$ 上一点 $P_2(x_2,y_2,z_2)$
两平面的单位法向量 $n^0=\frac{(a,b,c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
距离
$$d=|\overrightarrow{P_1P_2}·n^0|$$
平面间的夹角：
两平面 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 的夹角就是两个单位法向量 $n_1^0$ 与 $n_2^0$ 的夹角，即
$$\cos\theta=|n_1^0·n_2^0|$$
直线间的距离：
已知两直线 $L_1:\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$
$L_2:\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$
仅考虑既不平行又不相交的相错直线：
它们间的最短距离 $d$ 是公垂线 $L$ 与 $L_1,L_2$ 的交点 $M_1$ 和 $M_2$ 之间的距离，即 $d=|M_1M_2|$
已知 $L_1$ 方向向量为 $S_1$，$L_2$ 方向向量为 $S_2$
则 $L$ 方向向量为 $S=S_1\times S_2$，单位方向向量为 $S^0$
已知 $L_1$ 过点 $P_1(x_1,y_1,z_1)$，$L_2$ 过点 $P_2(x_2,y_2,z_2)$ ，则
$$d=|\overrightarrow{P_1P_2}·S^0|$$
直线间的夹角：
已知 $L_1$ 单位方向向量为 $S_1^0$，$L_2$ 单位方向向量为 $S_2^0$，则夹角满足
$$\cos\theta=S_1^0·S_2^0$$
直线与平面间的距离：
任取直线上一点，算点到直线的距离。
直线与平面的夹角：
设平面法向量为 $n$，直线方向向量为 $s$ ，则夹角
$$\sin\theta=\frac{|n·s|}{|n||s|}$$