Chapter6 实向量空间上的算子
6.1 复化
实向量空间与算子的复化
一个实向量空间 $V$ 可以自然地嵌入到一个复向量空间中，$V$ 上的每个算子都可以扩张为 $V$ 的复化上的算子，关于复向量空间上算子的结果可以转化为实向量空间上算子的结果。
$V$的复化$V_c$：
设 $V$ 是实向量空间，$V$ 的复化 $V_C=V\times V$，其元素是有序对 $(u,v)$，$u$，$v\in V$，写作 $u+vi$。
从 $V$ 构造 $V_c$ 可以看作是从 $R^n$ 构造 $C^n$ 的推广，$V_c$ 是复向量空间，$V$ 的基是 $V_c$ 的基。
$$\dim V=\dim V_c$$
$T$的复化$T_c$：
设 $V$ 是实向量空间，$T\in L(V)$，则 $T$ 的复化 $T_c$ 定义为
$$T_c(u+vi)=Tu+iTv,~u,v\in V,~T_c\in L(V_c)$$
定义 $T\in L(R^n)$为
$$Tx=Ax,~x\in R^n$$
即 $T$ 是 $A$ 确定的 $R^n$ 上的矩阵乘算子，则对于 $T_c\in L(C^n)$ 也有
$$T_cz=Az,~z\in C^n$$
即 $T_c$ 也是 $A$ 确定的矩阵乘算子，只是作用在更大的定义域 $C^n$ 上。
$T_c$ 的矩阵等于 $T$ 的矩阵（关于同一组基）。
非零的有限维向量空间上的每个算子都有一维或者二维不变子空间。
Proof
对于复向量空间，每个算子都有本征值，因此都有一维不变子空间
对于实向量空间，对于任意算子 $T\in L(V)$，考虑其复化 $T_c\in L(V_c)$，其有本征值 $a+bi$，$a$，$b\in R$
因此存在 $u+vi$，$u$，$v\in V$，使得 $T_c(u+vi)=(a+bi)(u+vi)$
因此 $Tu+iTv=(au-bv)+(av+bu)i$
因此 $Tu=au-bv$，$Tv=av+bu$
令 $U$ 为 $u$，$v$ 张成的子空间，则 $U$ 是 $V$ 的一维或者二维不变子空间
复化建立的联系
复化的极小多项式：
$T_c$ 的极小多项式等于 $T$ 的极小多项式。
复化的本征值：
若 $\lambda\in R$，则 $\lambda$ 是 $T_c$ 的本征值当且仅当 $\lambda$ 是 $T$ 的本征值。
设 $V$ 是实向量空间，$T\in L(V)$，$\lambda\in C$，$j$ 是非负整数，$u$，$v\in V$，则$(T_C-\lambda I)^j(u+vi)=0$ 当且仅当 $(T_c-\overline{\lambda}I)^j(u-vi)=0$。
如果一个数是 $T_c$ 的本征值，则它的复共轭也是 $T_c$ 的本征值，即 $T_c$ 的非实的本征值成对出现。
设 $\lambda$ 是 $T_c$ 的本征值，则 $\lambda$ 作为 $T_c$ 的本征值的重数等于 $\overline{\lambda}$ 作为 $T_c$ 的本征值的重数。
奇数维实向量空间上的每个算子都有本征值。
Proof
设实向量空间 $V$，$\dim V$ 为奇数
设 $T\in L(V)$，$T_c\in L(V_c)$
由于 $T_c$ 的非实的本征值是成对出现的，且重数相等
因此 $T_c$ 的所有非实的本征值的重数之和为偶数
由于 $T_c$ 的所有本征值的重数之和等于 $\dim V_c=\dim V$
因此 $T_c$ 存在实的本征值
该本征值也是 $T$ 的本征值
复化的特征多项式：
设 $V$ 是实向量空间，$T\in L(V)$，则 $T$ 的特征多项式定义为 $T_c$ 的特征多项式。
- $T$ 的特征多项式的系数都是实的
- $T$ 的特征多项式的次数为 $\dim V$
- $T$ 的所有本征值恰为 $T$ 的特征多项式的所有实零点
6.2 实内积空间上的算子
实内积空间上的正规算子：
设 $V$ 是二维实内积空间，则以下条件等价：
- $T$ 是正规的但不是自伴的
- $T$ 关于 $V$ 的每个规范正交基都有 $\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}$ 的形式，其中 $b\neq 0$
- $T$ 关于 $V$ 的某个规范正交基有 $\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}$ 的形式，其中 $b>0$
设 $V$ 是实内积空间，$T\in L(V)$ 是正规的，$U$ 是 $V$ 的在 $T$ 下不变的子空间，则
- $U^{\perp}$ 在 $T$ 下不变
- $U$ 在 $T^*$ 下不变
- $(T|_U)^{*}=(T^{*})|_U$
- $T\vert_U\in L(U)$ 和 $T\vert_{U^{\perp}}\in L(U^{\perp})$ 都是正规算子
设 $V$ 是实内积空间，$T\in L(V)$，则以下条件等价：
- $T$ 是正规的
- $T$ 关于 $V$ 的某个规范正交基有分块对角矩阵，对角线上的每个块是 $1\times 1$ 矩阵，或者是形如 $\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}$ 的 $2\times 2$ 矩阵，其中 $b>0$
实内积空间上的等距同构：
设 $V$ 是实内积空间，$S\in L(V)$，则以下条件等价：
- $S$ 是等距同构
- $S$ 关于 $V$ 的某个规范正交基有分块对角矩阵，对角线上的每个块是由 $1$ 或者 $-1$ 构成的 $1\times 1$ 矩阵，或者是形如 $\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}$ 的 $2\times 2$ 矩阵，其中 $\theta\in(0,\pi)$
因此可以看出，实内积空间上的等距同构一定是正规的。