Chapter5 复向量空间上的算子
5.1 广义本征向量和幂零算子
零空间：
设 $T\in L(V)$，则
$$\{0\}=null~T^0\subseteq null~T^1\subseteq···\subseteq null~T^k\subseteq null~T^{k+1}\subseteq···$$
设 $m$ 是非负整数，使得 $null~T^m=null~T^{m+1}$，则
$$null~T^m=null~T^{m+1}=null~T^{m+2}=null~T^{m+3}=···$$
也就是说，如果零空间序列中有相邻的两项相等，那么此后的所有项都相等。
$$null~T^{\dim V}=null~T^{\dim V+1}=···$$
$V=null~T\oplus range~T$ 并不是对每个 $T$ 都成立，因为不一定是“直”和，但以下命题是一个有用的替补：
$V$ 等于 $null~T^{\dim V}$ 与 $range~T^{\dim V}$ 的直和。
为了描述 $T$，我们想找到好的直和分解 $V=U_1\oplus···\oplus U_m$，每个 $U_j$ 都是 $V$ 在 $T$ 下的不变子空间，由可对角化的等价条件可知，该命题成立当且仅当 $V$ 有一个由 $T$ 的本征向量组成的基，由谱定理可以知道，$F=C$ 时对于所有的正规算子都成立，$F=R$ 时对于所有的自伴算子都成立，然而，对于更一般的算子则不一定成立，因为其可能没有足够多的本征向量张成 $V$，因此需要引入广义本征向量和广义本征空间。
广义本征向量：
设 $T\in L(V)$，$\lambda$ 是 $T$ 的本征值，若 $v\neq0$ 且存在正整数 $j$ 使得
$$(T-\lambda I)^jv=0$$
则称 $v$ 是 $T$ 关于 $\lambda$ 的广义本征向量。
当 $j=\dim V$ 时每个广义本征向量都满足这个等式。
对应于不同本征值的广义本征向量线性无关。
广义本征空间：
$T$ 关于 $\lambda$ 的所有广义本征向量组成的集合称为广义本征空间，记作
$$G(\lambda,T)=null(T-\lambda I)^{\dim V}$$
为 $V$ 的子空间。
Example
例：定义 $T\in L(C^3)$ 为 $T(z_1,z_2,z_3)=(4z_2,0,5z_3)$，求其本征值和广义本征空间。
解 $|\lambda E-A|=0$ 可得本征值为 $0$，$5$
$T^3$ 对应的矩阵为 $\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&125
\end{pmatrix}$
即 $T^3(z_1,z_2,z_3)=(0,0,125z_3)$
由于 $G(0,T)=null~T^3$
由 $T^3v=0$ 的所有 $v$ 组成，因此 $z_3=0$，$G(0,T)=span((1,0,0),(0,1,0))$
$(T-5I)^3$ 对应的矩阵为 $\begin{pmatrix}
-125&300&0\\
0&-125&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}$
即 $(T-5I)^3(z_1,z_2,z_3)=(-125z_1+300z_2,-125z_2,0)$
由于 $G(5,T)=null~(T-5I)^3$
因此 $-125z_1+300z_2=0,-125z_2=0$，即 $z_1=z_2=0$
$G(5,T)=span((0,0,1))$
幂零算子：
若存在正整数 $j$，使得 $T^j=0$，则称 $T$ 是幂零算子。
若 $T$ 是幂零算子，则
$$T^{\dim V}=0$$
即
$$null~T^{\dim V}=V$$
$T$ 是幂零算子当且仅当存在$V$的一组基使得 $T$ 关于这组基的矩阵为严格上三角矩阵，即：
$$\begin{pmatrix} 0&&&&*\\ &·&&&\\ &&·&&\\ &&&·&\\ 0&&&&0 \end{pmatrix}$$
5.2 算子的分解
复向量空间上算子的刻画：
若 $V$ 是复向量空间，$T\in L(V)$，$\lambda_1,···,\lambda_m$ 是 $T$ 不同本征值，则：
- $V=G(\lambda_1,T)\oplus···\oplus G(\lambda_m,T)$
- 每个 $G(\lambda_i,T)$ 在 $T$ 下都是不变的
- 每个 $(T-\lambda_i I)|_{G(\lambda_i,T)}$ 都是幂零的
- $V$ 有一组由 $T$ 的广义本征向量组成的基
重数：
$T$ 的本征值 $\lambda$ 的重数定义为相应的广义本征空间 $G(\lambda,T)$ 的维数，即为
$$\dim null(T-\lambda I)^{\dim V}$$
$T$ 的所有本征值的重数之和等于 $\dim V$。
Note
几何重数是本征空间的维数，代数重数是广义本征空间的维数。
分块对角矩阵：
设 $V$ 是复向量空间，$\lambda_1,···,\lambda_m$ 是 $T$ 的本征值，重数分别为 $d_1,···,d_m$，则存在 $V$ 的一组基，使得 $T$ 关于这组基有分块对角矩阵，即：
$$\begin{pmatrix} A_1&&&&0\\ &·&&&\\ &&·&&\\ &&&·&\\ 0&&&&A_m \end{pmatrix}$$
其中：
$$A_i=\begin{pmatrix} \lambda_i&&&&*\\ &·&&&\\ &&·&&\\ &&&·&\\ 0&&&&\lambda_i \end{pmatrix}$$
为 $d_i\times d_i$ 上三角矩阵。
Example
例：
设 $T\in L(C^3)$ 定义为 $T(z_1,z_2,z_3)=(6z_1+3z_2+4z_3,6z_2+2z_3,7z_3)$
则 $T$ 对应的矩阵为 $\begin{pmatrix}
6&3&4\\
0&6&2\\
0&0&7
\end{pmatrix}$
其并不是上述的分块形式
算得 $\lambda_1=6$，$\lambda_2=7$
对应的广义本征空间为 $G(6,T)=span((1,0,0),(0,1,0))$，$G(7,T)=span((10,2,1))$
因此可得 $C^3$ 的由 $T$ 的广义本征向量组成的基为
$(1,0,0)$，$(0,1,0)$，$(10,2,1)$
$T$ 关于这组基的矩阵为
$\begin{pmatrix}
6&3&0\\
0&6&0\\
0&0&7
\end{pmatrix}$
即上述的分块对角矩阵
平方根：
- 若 $N$ 是幂零映射，则 $(N+I)$ 有平方根，恒等加幂零恒有平方根（对于实向量空间和复向量空间均成立）
- $C$ 上的可逆算子恒有平方根
5.3 特征多项式与极小多项式
特征多项式：
设 $V$ 是复向量空间，$T\in L(V)$，$\lambda_1,···,\lambda_m$ 为 $T$ 的互不相同的本征值，重数分别为 $d_1,···,d_m$，则：
$$(z-\lambda_1)^{d_1}···(z-\lambda_m)^{d_m}$$
称为 $T$ 的特征多项式。
特征多项式的次数等于 $\dim V$，特征多项式的零点恰好是 $T$ 的本征值，用行列式来定义特征多项式和此处的定义是等价的。
凯莱-哈密顿定理：
设 $q$ 是 $T$ 的特征多项式，则 $q(T)=0$。
首一多项式：
最高次数的项的系数为 $1$ 的多项式称为首一多项式。
极小多项式：
设 $T\in L(V)$，则存在唯一一个次数最小的首一多项式 $p$ 使得 $p(T)=0$，称 $p$ 为 $T$ 的极小多项式。
若多项式 $q$ 满足 $q(T)=0$，则 $q$ 是极小多项式的多项式倍。
在复向量空间上，特征多项式是极小多项式的多项式倍 。
本征值是极小多项式的零点。
Example
例：
仍以上一个例子的 $T$ 为例
$T$ 的本征值为 $6$，$7$
由于本征值是极小多项式的零点
因此 $T$ 的极小多项式是 $(z-6)(z-7)$ 的多项式倍
而已知 $T$ 的特征多项式为 $(z-6)^2(z-7)$
因此，$T$ 的极小多项式要么是 $(z-6)(z-7)$，要么是 $(z-6)^2(z-7)$
通过矩阵的计算：$(T-6I)(T-7I)\neq0$
因此 $T$ 的极小多项式为$(z-6)^2(z-7)$
步骤归纳：求极小多项式
①由 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ 得到特征多项式
②由于极小多项式的零点一定包含本征值，因此列出所有可能性
③由于极小多项式作用在算子上为零算子，因此对应的矩阵为零矩阵，一一验证即可
5.4 若尔当形
对应于幂零算子的基：
设 $N\in L(V)$ 是幂零的，则存在向量 $v_1,···,v_n\in V$ 和非负整数 $m_1,···,m_n$ 使得
- $N^{m_1}v_1,···,Nv_1,v_1,···,N^{m_n}v_n,···,Nv_n,v_n$ 是 $V$ 的基
- $N_{m_1+1}v_1=···=N^{m_n+1}v_n=0$
Note
这里的 $n$ 不是 $V$ 的维数。
若尔当基：
在以下的定义中，每个 $A_j$ 的对角线上都是 $T$ 的本征值 $\lambda_j$，而紧位于 $A_j$ 对角线上方的元素都是 $1$，$A_j$ 的所有其他元素都是 $0$，不同的 $A_j$ 也可以有相同的 $\lambda_j$，$A_j$ 也可以是只包含 $T$ 的一个本征值的 $1\times 1$ 矩阵 $(\lambda_j)$。
设 $T\in L(V)$，$V$ 的基称为 $T$ 的若尔当基，如果 $T$ 关于这个基具有分块矩阵
$$\begin{pmatrix} A_1&&&0\\ &·&&\\ &&·&\\ 0&&&A_p \end{pmatrix}$$
其中每个 $A_j$ 都是形如
$$A_j=\begin{pmatrix} \lambda_j&1&&&0\\ &·&·&&\\ &&·&·&\\ &&&·&1\\ 0&&&&\lambda_j \end{pmatrix}$$
的上三角矩阵。
步骤归纳：求若尔当型
①求出特征多项式
②求出每一个特征值的几何重数，即对应的本征空间的维数，此结果即表示该特征值对应的若尔当块的个数
步骤归纳：已知矩阵 $A$ 和其若尔当型 $J$，求变换矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=J$
①设 $P=(P_1,P_2,P_3)$
②由 $AP=PJ$，可得 $P_1$，$P_2$，$P_3$ 的三个方程组，解出一组解即可