Chapter4 内积空间上的算子

4.1 自伴算子与正规算子

伴随

伴随算子：

设 $T\in L(V,W)$，若 $T^{*}\in L(W,V)$ 满足：对于任意 $v\in V$ 和任意 $w\in W$ 均有

$$\langle Tv,~w\rangle=\langle v,~T^{*}w\rangle$$

则称 $T^{*}$ 是 $T$ 的伴随。

伴随映射是线性映射。

Example

例：定义 $T$：$R^3\rightarrow R^2$ 为 $T(x_1,x_2,x_3)=(x_2+3x_3,2x_1)$，求 $T^*$。

$\langle (x_1,x_2,x_3),T^{*}(y_1,y_2)\rangle$
$=\langle T(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2)\rangle$
$=\langle (x_2+3x_3,2x_1),(y_1,y_2)\rangle$
$=x_2y_1+3x_3y_1+2x_1y_2$
$=\langle (x_1,x_2,x_3),(2y_2,y_1,3y_1)\rangle$
因此 $T^*(y_1,y_2)=(2y_2,y_1,3y_1)$

伴随的性质：

对于所有 $S$，$T\in L(V,W)$，都有 $(S+T)^{*}=S^{*}+T^*$
对于所有 $\lambda\in F$ 和 $T\in L(V,W)$，都有 $(\lambda T)^{*}=\overline{\lambda}T^*$
对于所有 $T\in L(V,W)$，都有 $(T^{*})^*=T$
对于所有 $T\in L(V,W)$ 和 $S\in L(W,U)$，都有 $(ST)^{*}=T^{*}S^*$

$T^*$的零空间和值域：

$null~T^*=(range~T)^{\perp}$
$range~T^*=(null~T)^{\perp}$
$null~T=(range~T^*)^{\perp}$
$range~T=(null~T^*)^{\perp}$

$T^*$的矩阵：

Note

下列结论只能对规范正交基使用。

设 $T\in L(V,W)$，$e_1,···,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$f_1,···,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基，$(T(e_1),···,T(e_n))=(f_1,···,f_m)A$，$(T^{*}(f_1),···,T^{*}(f_m))=(e_1,···,e_n)B$，则 $A$ 和 $B$ 互为共轭转置。

自伴

自伴算子：

设 $T\in L(V)$，若 $T=T^{*}$，即对于任意 $v,w\in V$ 都有 $\langle Tv,w\rangle=\langle v,Tw\rangle$，则称 $T$ 是自伴的。

自伴算子的性质：

自伴算子关于 $V$ 的规范正交基的矩阵是对称的
两个自伴算子的和是自伴的，实数和自伴算子的乘积也是自伴的
自伴算子的本征值都是实数（无论是实向量空间还是复向量空间）
在 $C$ 上，只有 $0$ 算子才能使得 $Tv$ 总正交于 $v$
在 $C$ 上，$T$ 是自伴的当且仅当对于任意 $v\in V$ 都有$\langle Tv,v\rangle\in R$
若自伴算子对于所有 $v$ 均有 $\langle Tv,v\rangle=0$，则 $T=0$

正规

正规算子：

设 $T\in L(V)$，若 $T$ 和 $T^{*}$ 可交换，即

$$TT^{*}=T^{*}T$$

则称 $T$ 是正规的。

自伴算子显然是正规的。

正规算子的性质：

$T$ 是正规的当且仅当对于任意 $v\in V$ 都有 $\Vert Tv\Vert=\Vert T^*v\Vert$
若 $T$ 是正规的，则 $T$ 相应于本征值 $\lambda$ 的本征向量也是 $T^*$ 相应于本征值 $\overline{\lambda}$ 的本征向量
若 $T$ 是正规的，则 $T$ 的相应于不同本征值的向量是正交的

4.2 谱定理

实谱定理：

设 $F=R$ 且 $T\in L(V)$，则以下条件等价：

$T$ 是自伴的
$V$ 有一个由 $T$ 的本征向量组成的规范正交基
$T$ 关于 $V$ 的某个规范正交基具有对角矩阵

复谱定理：

设 $F=C$ 且 $T\in L(V)$，则以下条件等价：

$T$ 是正规的
$V$ 有一个由 $T$ 的本征向量组成的规范正交基
$T$ 关于 $V$ 的某个规范正交基具有对角矩阵

4.3 正算子与等距同构

正算子

正算子：

设算子 $T\in L(V)$，若 $T$ 是自伴的且对于任意 $v\in V$ 都有 $\langle Tv,v\rangle\geqslant0$，则称 $T$ 是正算子。（其对应矩阵为半正定矩阵）

若 $U$ 是 $V$ 的子空间，则正交投影 $P_U$ 是正算子。

每个正算子都有唯一的正平方根。

正算子的等价条件：

设 $T\in L(V)$，则以下条件等价：

$T$ 是正的
$T$ 是自伴的且 $T$ 的所有本征值非负
$T$ 有正的平方根
$T$ 有自伴的平方根
存在 $R\in L(V)$ 使得 $T=R^*R$

等距同构

等距同构：

设算子 $S\in L(V)$，若对于任意 $v\in V$ 均有 $\Vert Sv\Vert=\Vert v\Vert$，则 $S$ 称为等距同构，（其对应的矩阵为正交矩阵），即保持范数的算子。

等距同构的等价条件：

设 $S\in L(V)$，则以下条件等价：

$S$ 是等距同构
对任意 $u,v\in V$ 均有 $\langle Su,Sv\rangle=\langle u,v\rangle$
对 $V$ 中的任意规范正交向量组 $e_1,···,e_n$ 均有 $Se_1,···,Se_n$ 是规范正交的
$SS^=S^S=I$
$S^*$ 是等距同构
$S$ 是可逆的且 $S^{-1}=S^*$

可以看出，等距同构的矩阵 $A$ 满足 $AA^T=A^TA=E$，即正交矩阵。同样可以看出，等距同构是正规的。

当 $F=C$ 时，$S$ 是等距同构当且仅当 $V$ 有一个由 $S$ 的本征向量组成的规范正交基，相应的本征值的绝对值为 $1$。

4.4 极分解与奇异值分解

极分解

极分解：

设 $T\in L(V)$，则存在等距同构 $S\in L(V)$，使得

$$T=S\sqrt{T^*T}$$

即 $V$ 上的每个算子都是一个等距同构和一个正算子的乘积。

考虑 $F=C$ 的情形，设 $T=S\sqrt{T^{*}T}$，其中 $S$ 是等距同构，则有一个 $S$ 的本征向量组成的规范正交基，$S$ 关于这组基有对角矩阵；同时，$\sqrt{T^*T}$ 是正算子，因此自伴，由实谱定理，其也关于某组规范正交基有对角矩阵，但是请注意：这两组规范正交基未必是同一组。

奇异值分解

奇异值：

设 $T\in L(V)$，则 $T$ 的奇异值即为 $\sqrt{T^{*}T}$ 的本征值，或者说 $TT^{*}$ 的本征值的非负平方根，且每个本征值 $\lambda$ 重复 $\dim E(\lambda,\sqrt{T^*T})$ 次。

由于 $\sqrt{T^*T}$ 是正算子，因此其本征值非负，即 $T$ 的奇异值非负。

Example

例：定义 $T\in L(F^4)$ 为：$T(z_1,z_2,z_3,z_4)=(0,3z_1,2z_2,-3z_4)$，求 $T$ 的奇异值。

$T$ 关于 $F^4$ 的标准基的矩阵为 $\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 3&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$
$T^{*}$ 对应的矩阵为上述矩阵的共轭转置
$T^{*}T$ 对应的矩阵为两个矩阵相乘，即 $\begin{pmatrix} 9&0&0&0\\ 0&4&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&9 \end{pmatrix}$
$\sqrt{T^{*}T}$ 对应的矩阵的平方就等于上述矩阵
容易看出即为 $\begin{pmatrix} 3&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&3 \end{pmatrix}$
因此 $\sqrt{T^{*}T}$ 的本征值为 $3$，$2$，$0$
且 $\dim E(3,\sqrt{T^{*}T})=2$，$\dim E(2,\sqrt{T^{*}T})=1$，$\dim E(0,\sqrt{T^*T})=1$
因此 $T$ 的奇异值为$3$，$3$，$2$，$0$

Note

上例中 $T^*T$ 由于是正算子，因此是自伴的，其对应的矩阵 $A$ 是对称的。若 $A$ 不是对角矩阵，则应先求 $A$ 对应的对角矩阵和变换矩阵。

奇异值分解：

设 $T\in L(V)$ 有奇异值 $s_1,s_2,···,s_n$，其中 $s_i$ 可能相同，则存在 $V$ 的两组规范正交基 $e_1,e_2,···,e_n$，$f_1,f_2,···f_n$，使得对于任意 $v\in V$，都有：

$$Tv=s_1\langle v,e_1\rangle f_1+···+s_n\langle v,e_n\rangle f_n$$

经过变换，即

$$(Te_1,···,Te_n)=(f_1,···,f_n)\begin{pmatrix} s_1&&&0\\ &·&&\\ &&·&\\ 0&&&s_n \end{pmatrix}$$

也就是说，只要允许我们在处理算子时使用两组不同的基，那么 $V$ 上的每个算子关于 $V$ 的某些规范正交基都有对角矩阵，该对角矩阵由 $T$ 的奇异值组成。

设 $T\in L(V)$，则 $T$ 的奇异值是 $T^{*}T$ 的本征值的非负平方根，且每个本征值 $\lambda$ 要重复 $\dim E(\lambda,T^*T)$ 次。

因此，对于之前计算奇异值的例子，若遇到 $T^*T$ 对应的矩阵不是对角矩阵的情况，可以考虑直接计算该矩阵对应的本征值，再分别计算对应本征空间的维数。