Chapter1 线性映射

1.1 向量空间的积与商

向量空间的积

积的定义：

设 $V_1,V_2,···V_n$ 为 $F$ 上的 $n$ 个线性空间，定义:

$$V_1\times V_2\times ··· \times V_n=\{(v_1,v_2,···,v_n)|v_1 \in V_1,v_2 \in V_2,···,v_n \in V_n\}= \prod\limits_{i=1}^{n}V_i$$

为这些线性空间的积。（其为线性空间）

$$\dim(V_1\times V_2\times ··· \times V_n)=\dim V_1+\dim V_2+···+\dim V_n$$

积与直和：

设 $U_1,···,U_m$ 均为 $V$ 的子空间，线性映射 $\Gamma$：$U_1\times···\times U_m\rightarrow U_1+···+U_m$，定义为

$$\Gamma(u_1,···,u_m)=u_1+···+u_m$$

则 $U_1+···+U_m$ 为直和当且仅当 $\Gamma$ 是单射。

$U_1+···+U_m$ 是直和当且仅当

$$\dim(U_1+···+U_m)=\dim U_1+···+\dim U_m$$

仿射子集：

设线性空间 $V(F)$，$U$ 是其一子空间，任取 $v\in V$，$v+U:=\{v+\alpha|\alpha\in U\}$ 是 $V$ 的子集合，称为仿射子空间（仿射子集）（不等于子空间），称仿射子集 $v+U$ 平行于 $U$（$v+U//U$）

向量空间的商

商空间：

设 $U$ 是 $V$ 的子空间，

$$V/U=\{v+U|v\in V\}$$

为商空间，即仿射子集组成的集合。

商空间是向量空间，平行于$U$的两个仿射子集相等或不相交。以下命题等价：

$v-w\in U$
$v+U=w+U$
$(v+U)\cap (w+U)\neq\emptyset$

Proof

a 推 b：

若 $u\in U$
则 $v+u=w+[(v-w)+u]\in w+U$
$v+U\subseteq w+U$
反之亦然，证毕。

b 推 c：

显然。

c 推 a：

存在 $u_1,u_2\in U$
$v+u_1=w+u_2$
$v-w=u_2-u_1\in U$，证毕。

商映射：

设线性空间 $V$，$U$ 为 $V$ 的子空间，定义映射 $\pi:V\rightarrow V/U$：

$$\pi(\alpha)=\alpha+U$$

$\pi$为商映射。（其为线性映射）

$$\dim V/U=\dim V-\dim U$$

$T$诱导的线性映射$\tilde{T}$：

设 $T\in L(V,W)$，定义 $\tilde{T}:V/(null~T)\rightarrow W$：

$$\tilde{T}(v+null~T)=T(v)$$

其中 $v+null~T$ 是仿射子集，为商空间 $V/(null~T)$ 的一个元素。

$\tilde{T}$ 是线性映射
$\tilde{T}$ 是单射
$range~\tilde{T}=range~T$
$V/(null~T)$ 与 $range~T$ 同构

若将 $\tilde{T}$ 视为到 $range~T$ 的映射，则 $\tilde{T}$ 是 $V/(null~T)$ 到 $range~T$ 的同构。

1.2 对偶

对偶空间与对偶映射

线性泛函：

$V$ 上的线性泛函是 $V$ 到 $F$ 上的线性映射，即为 $L(V,F)$ 中的元素。

对偶空间：

$V$ 上所有的线性泛函构成的线性空间称为 对偶空间，记为 $V'$，即 $V'=L(V,F)$

$$\dim V'=\dim V$$

对偶基：

设 $V$ 的一组基为 $v_1,v_2,···,v_n$，则 $v_1,v_2,···,v_n$ 的对偶基是 $V'$ 中的元素组 $\varphi_1,\varphi_2,···,\varphi_n$，其中每个 $\varphi$ 都是 $V$ 上的线性泛函，且满足：

$$\varphi_i(v_j)=\begin{cases} 1, i=j\\ 0, i\neq j \end{cases}$$

对偶基是对偶空间的一组基。例如：在 $R^5$ 中，对偶基 $\varphi_j(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=x_j$

对偶映射：

若 $T\in L(V,W)$，则 $T$ 的对偶映射是线性映射 $T'\in L(W',V')$:

$$\forall \varphi\in W',~T'(\varphi)=\varphi\circ T$$

对偶映射是线性映射。

Example

例：

定义 $D:P(R)\rightarrow P(R)$ 为 $D(p)=p'$，表示求导
设线性泛函 $\varphi$：$\varphi(p)=p(3)$
对偶映射 $D'(\varphi)=\varphi\circ D$
$D'(\varphi)(p)=\varphi\circ D(p)=p'(3)$
也就是说，$D'(\varphi)$ 是 $P(R)$ 上将 $p$ 变为 $p'(3)$ 的线性泛函

对偶映射的性质：

若 $S$，$T\in L(V,W)$，则 $(S+T)'=S'+T'$
$(\lambda T)'=\lambda T'$
若 $S\in L(V,W)$，$ T\in L(U,V)$，则 $(S\circ T)'=T'\circ S'$

对偶的零空间和值域

零化子：

设 $U\subseteq V$，即 $U$ 是 $V$ 的子集（不一定是子空间），则零化子

$$U^0=\{\varphi \in V'|\varphi(u)=0,\forall u\in U\}$$

即：$U$ 的零化子是所有能将 $U$ 中元素映射到 $0$ 的线性泛函组成的集合。

$U^0$ 是 $V'$ 的子空间。当 $U$ 是 $V$ 的子空间时，有

$$\dim U+\dim U^0=\dim V$$

$T$，$T'$的核空间与像空间：

设 $V$，$W$ 都为有限维，$T\in L(V,W)$

$null~T'=(range~T)^0$
$range~T'=(null~T)^0$
$\dim null~T'=\dim null~T+\dim W-\dim V$
$\dim range~T'=\dim range~T$
$T$ 是满的 $\Longleftrightarrow$ $T'$ 是单的
$T$ 是单的 $\Longleftrightarrow$ $T'$是满的

Proof

证明：（第一条）

正包含：

设 $\varphi\in null~T'$
则 $T'(\varphi)=\varphi\circ T=0$
$\forall v\in V$
有 $\varphi(T(v))=0$
因此 $\varphi\in range~T^0$
$null~T'\subseteq range~T^0$

反包含：

设 $\varphi\in range~T^0$
则 $\forall v\in V$
有 $\varphi(Tv)=T'(\varphi)(v)=0$
因此 $\varphi\in null~T'$
$range~T^0\subseteq null~T'$

综上：$null~T'=(range~T)^0$，证毕。