Chapter4 行列式
4.1 行列式的定义与基本性质
定义
$$\left|\begin{array}{c} a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&···&a_{2n}\\ ···&&&···\\ a_{n1}&a_{n2}&···&a_{nn} \end{array}\right|= D(\alpha_1 ,\alpha_2 ,··· ,\alpha_n) $$
(1) 齐性：
$$D(\alpha_1,···,\lambda \alpha_i,···,\alpha_n)=\lambda D(\alpha_1,···,\alpha_i,···,\alpha_n)$$
(2) 加性：
$$D(\alpha_1,···,\alpha_i+\beta_i,···,\alpha_n)=D(\alpha_1,···,\alpha_i,···,\alpha_n)+D(\alpha_1,···,\beta_i,···,\alpha_n)$$
(3) 交错：
$$D(\alpha_1,···,\alpha_i,···,\alpha_j,···,\alpha_n)=-D(\alpha_1,···,\alpha_j,···,\alpha_i,···,\alpha_n)$$
(4) 规范：
$$D(e_1,e_2,···,e_n)=1$$
基本性质
(1) 若行列式有一列为零向量，则行列式的值等于零。
(2) 若行列式有两列元素相同，则行列式的值等于零。
(3) 若行列式有两列元素成比例，则行列式的值等于零。
(4) 将行列式的某一项乘以常数加到另一列，则行列式的值不变。
(5) 若行列式的向量线性相关，则行列式的值等于零。
计算性质
$$|A^T|=|A|$$
Proof
$n$阶上三角行列式(下三角行列式)
$$\left|\begin{array}{c} a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\ 0&a_{22}&···&a_{2n}\\ ···&&&···\\ 0&0&···&a_{nn} \end{array}\right| =\prod\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$$
Proof
$$|AB|=|A||B|$$
4.2 行列式的展开式
余子式
在$n$阶行列式中，去掉元素$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列的所有元素得到的$n-1$阶行列式，称为元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$，并把
$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$
称为元素$a_{ij}$的代数余子式。
展开式
定理一：
设$A_{n\times n}$中$a_{in}=0(i=1,2,···,n-1)$，则
$$|A|=a_{nn}M_{nn}$$
Proof
定理二：
$|A|$对第$j$列的展开式：
$$|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+···+a_{nj}A_{nj},~j=1,···,n$$
$|A|$对第$i$行的展开式：
$$|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+···+a_{in}A_{in},~i=1,···,n$$
Proof
定理三：
$n$阶行列式的某一列（或行）元素与另一列（或行）相应元素的代数余子式的乘积之和为零，即
$$a_{1j}A_{1i}+a_{2j}A_{2j}+···+a_{nj}A_{ni}=0,~i\neq j$$
$$a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+···+a_{jn}A_{jn}=0,~i\neq j$$
Vandermonde行列式
$$V_n= \left|\begin{array}{c} 1&1&1&···&1\\ x_1&x_2&x_3&···&x_n\\ x_1^2&x_2^2&x_3^2&···&x_n^2\\ ···&&&&···\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&···&x_n^{n-1} \end{array}\right| =\prod\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_j-x_i)$$
Proof
事实上我们有以下结论：
$$\left|\begin{array}{c} A&O\\ C&B \end{array}\right|= \left|\begin{array}{c} A&D\\ O&B \end{array}\right| =\left|\begin{array}{c} A&O\\ O&B \end{array}\right|=|A||B| $$
$$\left|\begin{array}{c} O&A\\ B&C \end{array}\right|=(-1)^{k+m}|A||B|$$
4.3 行列式进阶
伴随矩阵
定义：
$$A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&···&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&···&A_{n2}\\ ···&&&···\\ A_{1n}&A_{2n}&···&A_{nn} \end{pmatrix}$$
性质：
$A^{*}$称为$A$的伴随矩阵，它是$A_{m\times n}$的元素$a_{ij}$的代数余子式$A_{ij}$组成的矩阵的转置。
(1) $AA^{*}=A^{*}A=|A|E$，若$A$可逆，则$A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}$
(2) $|A^{*}|=|A|^{n-1}$
(3) $(AB)^{*}=B^{*}A^{*},(A^T)^{*}=(A^{*})^T,(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}$
(4) $A$可逆时，$(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A,|(A^{*})^{*}|=|A|^{(n-1)^2}$
(5) 对正整数$k$，$(A^k)^{*}=(A^{*})^k$
(6) $r(A^{*})=\begin{cases}
n~~~r(A)=n\\
1~~~r(A)=n-1\\
0~~~r(A)<n-1
\end{cases}$
Proof
行列式秩
矩阵$A$的任意$k$行和任意$k$列相交得到的$k^2$个元素组成的行列式称为$A$的一个k阶子式。当$A$为方阵且$k$行和$k$列一一对应时称为k阶主子式。若取$A$的前$k$行和前$k$列，则称为$A$的k阶顺序主子式。
矩阵$A$的非零子式的最高阶数$r$称为$A$的行列式秩，即$A$至少有一个$r$阶子式不为0，且$r+1$阶及以上的子式均为0。
秩$A$为$r$的充要条件是$A$的行列式秩为$r$。
Cramer法则
当$n$阶方阵$A$的行列式$|A|\neq 0$时，线性方程组$AX=0$的解可用行列式表示，其解法称为Cramer法则。
$$x_j=\frac{D_j}{D},~j=1,2,···,n$$
其中
$$D_j=\left|\begin{array}{c} a_{11}&···&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&···&a_{1n}\\ a_{21}&···&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&···&a_{2n}\\ ···&&&&&&···\\ a_{n1}&···&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&···&a_{nn} \end{array}\right|$$
$$D=\left|\begin{array}{c} a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&···&a_{2n}\\ ···&&&···\\ a_{n1}&a_{n2}&···&a_{nn} \end{array}\right|$$