Lec6
NFA 与 regular expression 转换后续
从 NFA 到 regular expression 的转换，本质上是动态规划的过程。
定义 NFA $N=(K,s,F,\Delta)$，满足
- $K=\{q_1,q_2,\dots,q_n\}$，$s=q_{n-1}$，$F=\{q_n\}$
- $(p,a,q_{n-1})\notin\Delta$，即没有箭头指向 initial state
- $(q_n,a,p)\notin\Delta$，即没有箭头从 accepting state 指向其他 state
这样的定义就是上次 lecture 里提到的等价的 $N'$。
Subproblem:
对于 $\forall i,j\in[1,n]$，$k\in[0,n]$，定义 language
$$L_{ij}^k=\{w\in{0,1}^*: w\text{ goes from } q_i \text{ to } q_j \text{ without passing any state whose index } >k\}$$
我们的目标就是求：
$$L_{(n-1),n}^{n-2}$$
Example
$L_{41}^0={e}$
$L_{11}^0={0}$
$L_{32}^0={1}$
综上，如果 $q_i\rightarrow q_j$ 有箭头，内容为 $a$，则 $L_{ij}^0=\{a\}$；否则，$L_{ij}^0=\emptyset$
以上 example 为 base case。考虑数学归纳法，若 $L_{ij}^0\sim L_{ij}^{k-1}$ 均已知，如何计算 $L_{ij}^k$？
- case 1：中间经过的状态的 index 都小于 $k$，则对应 $L_{ij}^{k-1}$
- case 2：中间经过了状态 $q_k$（可能不止经过一次），则对应 $L_{ik}^{k-1}(L_{kk}^{k-1})^*L_{kj}^{k-1}$
综上：
$$L_{ij}^k=L_{ij}^{k-1} \cup L_{ir}^{k-1}(L_{rr}^{k-1})^*L_{rj}^{k-1}$$
通过上述递推式，我们就可以得到结果。
Pumping Theorem
我们已经知道了很多证明某个 language 为 regular 的方法，如 DFA、NFA、regular expression 等。但是，证明某个 language 不是 regular 是很难的。
Pumping Theorem
pumping theorem 给出了 regular 的一个必要条件：
若一个 language $L$ 是 regular 的，则存在正整数 $p$，对于 $L$ 中任意满足 $|w|\geqslant p$ 的字符串 $w$，都能被分解成某种 $w=xyz$ 的形式，满足：
- $|y|>0$
- 对于 $\forall i\geqslant 0$，$xy^iz\in L$
- $|xy|\leqslant p$，即重复段在前 $p$ 个字符中一定能找到
$p$ 称为 pumping length。
Proof
设 $L$ 对应的 DFA 为 $M$，设 $p$ 为 $M$ 的状态数。
对于任意一个满足 $|w|=n\geqslant p$ 的字符串 $w$，其在 $M$ 中的计算过程对应一个长度为 $n$ 的状态序列，涉及 $n+1$ 个状态：
$$q_0\rightarrow q_1\rightarrow\dots\rightarrow q_{n-1}\rightarrow q_n$$
由于 $n+1>p$，因此必然存在 $0\leqslant i<j\leqslant p$，使得 $q_i=q_j$。
- 要求1：$|y|=j-i>0$，满足
- 要求2：$q_i=q_j$，中间一段重复任意次后仍然到达这个状态，$xy^iz\in L$，满足
- 要求3：$|xy|=j\leqslant p$，满足
Application
pumping theorem 用于证明某个 language 不是 regular 的。
Example
求证：$\{0^n1^n:n\geqslant 0\}$ 不是 regular 的。
反证法：假设其是 regular 的，记为 $A$。
根据 pumping theorem，存在正整数 $p$ 满足要求。
选择一个长度大于等于 $p$ 的字符串 $w=0^p1^p\in A$，分成三个部分满足三个条件。
由第一个条件和第三个条件，$y$ 只能包含 $0$：$y=0^k\text{ for }k\geqslant 1$
但考虑第二个条件：取 $i=0$，$xy^0z=0^{p-k}1^p\notin A$，矛盾。