Chapter2 量子测量
线性代数基础
特征值分解
矩阵乘法对应一个变换，使原向量发生旋转和伸缩。
如果矩阵 $A$ 对于某个向量只进行伸缩变换，而不产生旋转效果，则这个向量是这个矩阵的特征向量（$v$），伸缩的比例称为特征值（$\lambda$）。
$$Av = \lambda v$$
$A$ 可以进行特征值分解（谱分解）：
$$A=Q\Sigma Q^{-1}$$
其中，$\Sigma$ 是由特征值组成的对角矩阵，$Q$ 是由对应的特征向量组成的矩阵。
如果得到矩阵的前 $N$ 个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的 $N$ 个变化方向。利用这 $N$ 个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。
若 $A$ 是正规矩阵（$A^{\dagger}A=AA^{\dagger}$），特征值集合为 $\{\lambda_i\}$，对应的标准正交基为 $\{e_i\}$（正规矩阵对应于不同特征值的特征向量正交），则由特征值分解可以进一步推导出
$$A=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i|e_i\rangle \langle e_i|$$
完备性方程
$$\sum\limits_{i=1}^n|e_i\rangle \langle e_i| = I$$
完备性方程常用来检验一组向量是否为标准正交基。
投影算子
$$P_k=|e_k\rangle \langle e_k|$$
这样的投影算子集合 $\{P_k=|e_k\rangle \langle e_k|\}$ 满足以下性质：
- $P_k^2=P_k$
- 若 $k\neq j$，则 $P_kP_j=0$
- $\sum P_k=I$
$P_k$ 作用在 $|v\rangle$ 上，得到 $|e_k\rangle$ 方向上的投影：
$$P_k|v\rangle=|e_k\rangle \langle e_k|v\rangle\equiv c_k|e_k\rangle$$
其中，$c_k=\langle e_k|v\rangle$ 为 $|v\rangle$ 在 $|e_k\rangle$ 方向上的投影长度。
回到原本的特征值分解，可以改写成：
$$A=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_iP_i$$
因此，$A$ 作用于任何向量，相当于将该向量投影到 $A$ 的各个特征向量方向上，再以特征值为系数线性组合起来。
量子测量
投影测量
对量子态 $|\psi\rangle$ 进行投影测量，得到第 $i$ 个结果（对应第 $i$ 个基矢态）的概率为：
$$p(i)=\langle \psi|P_i|\psi\rangle$$
测量后，量子态坍缩为：
$$\frac{P_i|\psi\rangle}{\sqrt{p(i)}}$$
单比特测量
若我们要测量
$$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$
使用的投影算子为
$$P_0=|0\rangle\langle0|=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
$$P_1=|1\rangle\langle1|=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
当使用 $P_0$ 作用在 $|\psi\rangle$ 上时，得到 $0$ 态的概率为
$$p(0)=\langle \psi|P_0|\psi\rangle=|\alpha|^2$$
测量后，量子态坍缩为
$$\frac{P_0|\psi\rangle}{\sqrt{p(0)}}=\frac{\alpha}{|\alpha|}|0\rangle$$
同理，使用 $P_1$ 作用在 $|\psi\rangle$ 上时，得到 $1$ 态的概率为
$$p(1)=\langle \psi|P_1|\psi\rangle=|\beta|^2$$
测量后，量子态坍缩为
$$\frac{P_1|\psi\rangle}{\sqrt{p(1)}}=\frac{\beta}{|\beta|}|1\rangle$$
双比特测量
假设初始状态为 $|00\rangle$，前面细节不表，到测量之前，量子态演化为 $\psi=\frac{1}{\sqrt{2}}(|10\rangle+|11\rangle)$。
整体测量：
使用投影算子 $M_{00}=|00\rangle\langle00|$，得到
$$P(|00\rangle)=\langle\psi|M_{00}|\psi\rangle=0$$
使用投影算子 $M_{01}=|01\rangle\langle01|$，得到
$$P(|01\rangle)=\langle\psi|M_{01}|\psi\rangle=0$$
使用投影算子 $M_{10}=|10\rangle\langle10|$，得到
$$P(|10\rangle)=\langle\psi|M_{10}|\psi\rangle=\frac{1}{2}$$
使用投影算子 $M_{11}=|11\rangle\langle11|$，得到
$$P(|11\rangle)=\langle\psi|M_{11}|\psi\rangle=\frac{1}{2}$$
部分测量：
若只对第一个量子比特进行测量，则投影算子为：
$$M_0^{q_0}=\sum\limits_{i\in\{0,1\}}M_{0i}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
$$M_1^{q_0}=\sum\limits_{i\in\{0,1\}}M_{1i}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
通过测量，得到第一个量子比特结果为 $0$ 和 $1$ 的概率分别为：
$$p_{q_0}(|0\rangle)=\langle\psi|M_0^{q_0}|\psi\rangle=0$$
$$p_{q_0}(|1\rangle)=\langle\psi|M_1^{q_0}|\psi\rangle=1$$
测量后，量子态坍缩为：
$$\frac{M_1^{q_0}|\psi\rangle}{\sqrt{p_{q_0}(|1\rangle)}}=|\psi\rangle$$
保持不变。
若只对第二个量子比特进行测量，则投影算子为：
$$M_0^{q_1}=\sum\limits_{i\in\{0,1\}}M_{i0}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
$$M_1^{q_1}=\sum\limits_{i\in\{0,1\}}M_{i1}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
通过测量，得到第二个量子比特结果为 $0$ 和 $1$ 的概率分别为：
$$p_{q_1}(|0\rangle)=\langle\psi|M_0^{q_1}|\psi\rangle=\frac{1}{2}$$
$$p_{q_1}(|1\rangle)=\langle\psi|M_1^{q_1}|\psi\rangle=\frac{1}{2}$$
测量后，量子态坍缩为：
$$\frac{M_0^{q_1}|\psi\rangle}{\sqrt{p_{q_1}(|0\rangle)}}=|10\rangle$$
或
$$\frac{M_1^{q_1}|\psi\rangle}{\sqrt{p_{q_1}(|1\rangle)}}=|11\rangle$$